Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 60 )

(Напомним, что последовательность непрерывных или кусочно-не­прерывных функций заданных на конечном интервале (а, b), образует на нем ортогональную систему, если все они ненулевые и

(4)

Эта система называется полной, если любую непрерывную или кусочно-не­прерывную функцию f(x), заданную на (а, b), можно разложить в ряд

(5)

Коэффициенты этого ряда легко найти с помощью свойства (4):

(6)

(докажите!). Например, хорошо известна полная ортогональная система функций на интервале Для нее ряд (5) — это ряд Фурье.

Аналогично рассматриваются полные ортогональные системы функций нескольких аргументов.)

Так как каждой функции взятой в качестве начальной, отвечает решение то, в силу принципа суперпозиции, начальной функции θ0 отвечает решение

(7)

которое и является искомым.

Проведенное рассуждение имеет область применимости, значительно выходящую за рамки уравнения (1 п.3.1.4), и суще­ственно опирается на линейность задачи уже при отделении переменной t, т. е. при переходе от уравнения (1 п.3.1.4) к уравнению (3). Аналогичным образом в случае неог­раниченной области (D) применяется интегральное представление решения, которое строится с помощью того или иного интегрального преобразования по пространственным переменным, чаще всего — так называемого преобразования Фурье. Широко известно также преобразование Лапласа по времени, приводящее к операционному исчислению; это исчисление также применяется почти исключительно к ли­нейным задачам.

Весьма благоприятна линейность задачи и для таких распространенных методов приближенного решения диффе­ренциальных уравнений (обыкновенных и с частными про­изводными), как метод Галеркина в его различных вариан­тах и метод конечных элементов (см. Добавление, п. 3). Хотя в принципе эти методы применимы и к нелинейным задачам, но естественно, что системы из большого числа конечных уравнений, к которым они приводят, гораздо легче решаются в линейном, чем в нелинейном случае. Это от­носится и ко многим другим приближенным методам.

Необходимо иметь в виду, что существуют принципиаль­но нелинейные объекты (в том числе явления), для которых применение линейных моделей приводят к грубым иска­жениям картины. Это прежде всего системы, для которых изменение масштаба воздействия приводит к качественному изменению результата. Типичным примером могут служить механические системы с сухим трением, для которых малая сила не порождает движения, а большая — порождает; вообще, наличие любых барьеров подобного рода — это типичный нелинейный эффект. Существенно нелинейной является также задача об изучении околокритического сос­тояния объекта, зависящего от параметров, когда при их изменении устойчивость сменяется неустойчивостью или один тип движения - другим и т. п. Во всех таких случаях надо применять методы нелинейного анализа, которые мож­но найти в специальной литературе.

3.4.4. Линеаризация

Выгоды линейности бывают столь ве­лики, что приближенная замена нелинейных соотношений на линейные, нелинейных моделей на линейные, т. е. лине­аризация соотношений, моделей и т. д. весьма распростра­нена. Такая линеаризация обычно проводится в двух случа­ях: либо если эксперимент показывает (как, например, для закона Гука), что отклонение от линейности в рассматрива­емых диапазонах изменения переменных невелико и несу­щественно, либо же, если эти диапазоны малы и мы заме­няем приращения переменных на их дифференциалы, отбра­сывая члены высшего порядка малости. (Во втором случае применяется также линейное интерполирование.) Покажем последнюю процедуру на формальном примере. Пусть величины х, у, z связаны уравнением

(1)

Это уравнение при удовлетворяется.

Пусть теперь эти величины мало изменились, т. е. стало

гдемалы. Тре-

буется найти линейное соотношение между справедливое с точностью до членов высшего порядка малости; другими словами, требуется провести линеаризацию урав­нения (1) вблизи указанных значений х, у, z (говорят также — «при этих значениях»). Для этого продиффе­ренцируем обе части уравнения (1):

Подставив сюда вместо х, у, z их исходные значения, а вместо дифференциалов — приращения соответствующих переменных (при этом мы пренебрегаем величинами выс­шего порядка малости — в этом и состоит линеаризация), получим

т. е.

Линеаризованное уравнение несравненно проще исходного. Его можно записать и в переменных х, у, z.

т. е.

Геометрический смысл проведенной линеаризации таков: мы получили уравнение касательной плоскости к поверхности (1) в пространстве x,y,z в заданной точке (2, - 1, 0).

В качестве другого примера рассмотрим дифференциаль­ное уравнение

(2)

имеющее очевидное частное решение Пусть близкое решение имеет вид Чтобы получить линеаризованное уравнение для η, варьируем уравнение (2):

(Вариация функции появляется при рассмотрении операторов (пре­образователей функций в функции, см. п. 3.4.3) и функционалов (преобразо­вателей функций в числа). Тек, если задан оператор где y = y (х) — вход, a z = z (х) — выход, то вариация

функции у = у (х) — это ее приращение, полученное при переходе от у к некоторой другой, близ­кой функции т. е. (см. рис. 1; сравните:получается при сохранении функции у(х), но изменении значения х).

Pис. 1

Вариация оператора получается, если в его приращении оставить только линейные члены относительно δу и отбросить члены высшего порядка малости. Варьирование (вычисление вариации) оператора про­изводится по тем же правилам, что и дифференцирование функции, причем надо полагать и т. д., подобно тому, как это делается при вы­числении смешанной производной функции нескольких переменных. При­мер вычисления вариации оператора — левой части уравнения (2) — приведен в тексте. Аналогично определяется и вычисляется вариация функционала.)

Подставив сюда получаем искомое

уравнение

которое легко решается.

На последовательной линеаризации основан один из самых эффективных методов приближенного решения не­линейных уравнений различных типов — метод Ньютона. Опишем его сначала на примере решения конечного урав­нения общего вида

(3)

Метод имеет итерационный характер (см. Добавление, п. 4). Пусть мы отправляемся от некоторого нулевого прибли­жения решения: Проведем линеаризацию функции f при для чего разложим ее в ряд Тейлора по степеням и отбросим в разложении все нелинейные члены. Тогда взамен (3) мы получим линеаризованное уравнение