Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 57 )

2. Двумя существенно различными методами мы до­кажем сходимость полученного формального решения.

Положим и рассмотрим уравнения

Нетрудно видеть, что (символ Кронекера); вообще для произвольного β коэффициентесть линейная комбинация тех коэффициентов рядов которые стоят при одночленах степени, строго мень­шей, чем β. В этих линейных комбинациях участвуют также целые числа (различные биномиальные коэф­фициенты), не зависящие от Таким образом, по индукции

где

— многочлен с целыми положительными коэф­фициентами, которые не зависят ни от ни от

в качестве переменных в участвуют только аі,α с

Единственность формального решения установлена; остается доказать его (абсолютную) сходимость.

Первый способ доказательства основан на том, что, как мы уже говорили, поле k можно считать неархимедовым. Мы можем также предполагать, что для всех i и β. Поскольку ясно, что для всех i и β. Следовательно,

ряды сходятся в полицилиндре

Второй способ доказательства, так называемый метод мажорант Коши, пригоден также и для по­лей R и С. Допустим, что нам удалось найти такие положительные ряды что

(1) ряды

сходятся, где — формальное решение задачи обращения для

(2) для всех і и α.

Тогда легко показать, что

(3) для всех і и β.

Действительно, поскольку многочлен ріβ имеет целые положительные коэффициенты,

Очевидно, из свойств (2) и (3) в совокупности следует сходимость всех рядов Нам остается поэтому подыскать требуемые формальные вещественные ряды

Пусть сначала п=1. В силу сходимости ряда φ1 можно подобрать такое достаточно большое нату­ральное т, что ряд

удовлетворяет свойству (1) (лемма Абеля). Вычислим в явном виде соответствующий обратный ряд Для этого нам надо решить уравнение

Решение этого уравнения дается формулой

из которой легко усмотреть, чтопредставляется степенным рядом, сходящимся в окрестности нуля.

Перейдем теперь к обшему случаю; пусть п - произ­вольное натуральное число. Заменяя, если нужно, ряды на (где μ — специально подобранный с помощью леммы Абеля элемент поля k), мы можем считать, что для всех і и α. Рассмотрим положительные ряды

и докажим, что они обладают требуемыми свойствами. В силу нашего соглашения свойство (1) выполняется очевидным образом. Соответствующие обратные ря­ды имеют вид

В самом деле,

Поскольку ряды сходятся з некоторой окрест­ности нуля, теорема доказана.

„Опасные повороты". 1. Пусть k — неархимедово поле. Функция φ, равная единице на элементах кольца и нулю на дополнении всюду аналитична. Это вытекает из того факта, что множество одновременно открыто и замкнуто в k.

2. Если поле k имеет характеристику р>0, то для любой аналитической функции φ, определенной в об­ласти имеем

В частности, радиус сходимости производной фор­мального ряда может быть строго больше радиуса сходимости самого этого ряда.

3. Если функция φ аналитична в области причем где то ряд Тейлора функции φ в точке х вовсе не обязан сходиться во всем полицилиндре Последнее имеет место, вообще говоря, лишь для k = С.

3.4. Типы математических моделей

3.4.1. Структурные и функциональные модели.

Обычно в математической модели отражается структура (устройство) моделируемого объекта, существенные для целей исследо­вания свойства и взаимосвязи компонентов этого объекта; такая модель называется структурной. Если же модель отражает только то, как объект функционирует — напри­мер, как он реагирует на внешние воздействия,— то она называется функциональной или, образно, черным ящиком. Возможны и модели комбинированного типа.

Рассмотрим пример. Пусть на платформе массы т1 уп­руго закреплен груз массы (т. е. т2 значительно меньше т1 рис. 1).

Рис. 1

Платформа, столкнувшись со стенкой, под действием буфера откатывается назад. Нас интересует зависимость амплитуды А колебаний груза после взаимо­действия платформы со стенкой от скорости v накатывания платформы. Жесткости k1 буфера и k2 упругого закрепления считаем заданными; силами трения и учетом вращатель­ного движения колес пренеб­регаем.

Будем отсчитывать время t от момента столкновения и обозначим буквой T время взаимодействия платформы со стенкой, а символами и соответственно координаты платформы и груза от­носительно платформы, от­считываемые от их положений при t = 0. С учетом сделан­ных предположений (в частности, условия полу­чаем систему дифференциальных уравнений и начальные условия

(1)

которые и составляют математическую модель рассматрива­емой задачи. Из уравнения и начальных условий для x1 находим

(взаимодействие со стенкой заканчивается при первом зна­чении t > 0, для которого х1 = 0). (Символыобозначают равенство по определению, при этом двоеточие указывает на определяемую величину). Подставляя х1 в уравнение для х2, получаем (проверьте!)