Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 91 )

Таким образом, выбор характерных значений величин допускает варианты. Например, если бы для модели (1) нас интересовало влияние коэффициента жесткости k на амплитуду колебаний, то можно было бы выбрать так, чтобы сделать безразмерные частоту и амплитуду внешнего воздействия равными единице (проделайте это и разберите смысл полученных характерных значений).

Рассмотрим еще один случай, который сначала кажет­ся парадоксальным. Пусть нас интересуют колебания, опи­сываемые уравнением (1), при заданных начальных ус­ловиях

(6)

если масса т осциллятора пренебрежимо мала, точнее, Может показаться, что тогда надо просто вы­бросить первый член в уравнении (1), т. е. перейти к уравнению

(7)

Но ведь произвольно заданные условия (6) могут и не удовлетворить уравнению (7) при t = 0!

Объяснение этого кажущегося парадокса в следую­щем. Если уравнение (7) при t = 0 противоречит усло­виям (6), то это означает, что сила инерции в этот момент отлична от нуля, т. е. на первом, так называе­мом релаксационном этапе движения пренебрегать пер­вым членом в уравнении (1) нельзя. На этом этапе из-за малости т ускорение весьма велико и потому скорость быстро становится равной значению удовлетворяющему уравнению (7). После этого на следующем этапе закон движения получается из дифференциально­гоуравнения (7) при единственном начальном условии

Рассмотрим первый этап подробнее. Так как характерное время для него малoj, то в соответствии с уравнением (4) естественно принять т. е.Кроме того, перенесем член с х' в правую часть; мы получим

Но так как

то при малом т и конечных значениях прочих величин (в частности, промежутка изменения t') выражение, стоящее в скобках, почти постоянно и мы заменяем его на значение этого выражения при t' = 0 — как говорят, замораживаем правую часть. Это приводит к задаче с начальными ус­ловиями (задаче Коши)

причем значение можно и не уточнять. Решение этой задачи имеет вид

Возвращаясь к размерным величинам, а затем проводя диф­ференцирование два раза, получаем приближенные форму­лы для рассматриваемого этапа:

Видно, что релаксация происходит по показательному зако­ну с показателем, обратно пропорциональным значению т.

Конечно, тот же результат нетрудно вывести из точного решения уравнения (1) при начальных условиях (6), но мы хотели здесь продемонстрировать общий метод исследо­вания кратковременного переходного процесса, пригодный и в более сложных задачах (см. п. 4).

По прошествии релаксационного этапа мы можем по­ложить т = 0 и перейти к уравнению (7), отбросив второе начальное условие (6). Мы видим, что на втором этапе решение после переходного процесса, происходящего с «нор­мальной» скоростью, выходит на гармонические колебания. Чтобы определить характерное время этого второго переходного процесса, заметим, что при т=0 уравнение (3) приводится к виду

Поэтому естественно положить откуда получаем характерное время Примерный график вещественной части получающегося решения с двумя переходными процессами показан на рис. 1, причем мы для наглядно­сти изобразили зависимость скорости от времени. (Изобразите примерный вид зависимости

Рис. 1

Другой пример уравнения с различными способами упрощения на различных интервалах получается при рассмот­рении реакции всё того же осциллятора на произвольное медленно меняющееся внешнее воздействие. Такое урав­нение можно записать в виде

(8)

где — малый безразмерный положительный параметр, показывающий порядок скорости изменения внешнего воз­действия. Произведение называется медленным временем, это как бы время, в котором «живет» внешнее воздейст­вие. Для уравнения (8) ставятся обычные начальные ус­ловия (6).

На любом конечном фиксированном интервале времени для достаточно малого ε имеем т. е. внешнее воздействие остается почти постоянным. Заменяя на мы в соответствии с уравнением (8) видим, что на первом этапе процесса с характерным временем в системе происходят затухающие колебания к положению с координатой т. е. к положению, для которого в момент t=0 внешняя сила уравновешивается силой упру­гости. Затем наступает второй этап, когда решение меняется медленно и потому силы инерции и трения существенно меньше сил упругости; другими словами, процесс становится квазистатическим. На этом этапе при приближенном ре­шении уравнения (8) мы можем в левой части отбросить два первых слагаемых, что приводит к простой приближен­ной формуле: Она подтверждает естественную рабочую гипотезу о медленном изменении решения; диффе­ренцирование этой формулы показывает, что имеет порядок ε, а — даже что также говорит о прием­лемости примененной процедуры.

На последнем примере мы продемонстрируем явление, ставшее особенно актуальным в связи с изучением нелинейных моделей. Рассмотрим задачу Коши в безразмерных переменных

где Пока х невелико, вторым членом в правой части уравнения можно пренебречь, и мы получаем приближенное выражение для решения: Могло бы показаться, что из-за малости ε второй член вносит в это решение только небольшую поправку. Но так происходит лишь на некотором этапе, пока Когда же х достаточно увеличится, второй член станет преобладающим. В данном примере легко написать точное решение (получи­те его!):

Мы видим, что при решение уходит в бесконечность; это явление называется обострением ре­шения. Таким образом, экстраполяция решения по экспо­ненте в данном примере привела бы к грубой ошибке: у режима с обострением медленное экспоненциальное изме­нение величин (в других примерах — квазистационар­ный процесс) сменяется «взрывом» — катастрофическим нарастанием. Вблизи критического момента t* асимптоти­ческое выражение для решения уже совсем иное: если

то

Поскольку упрощение моделей часто включает осред­нение участвующих переменных величин, скажем еще несколько общих слов по этому поводу. Надо иметь в виду, что осреднение какой-либо величины х всегда производится по отношению к некоторой переменной величине у, функцией которой х является. (Осреднение возможно и для функции более одного аргумента.) Эта другая величина, по отно­шению к которой производится осреднение, должна быть указана явно или подразумеваться, так что не существует «осреднения вообще». Если та же величина х осредняется по отношению к какой-либо другой величине z, то среднее значение х, вообще говоря, изменится. Невнимание к этому может породить недоразумения и прямые ошибки.