Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 93 )

с решением x0 = 12, а за возмущенное —

(11)

Аналогично предыдущему после дифференцирования по α находим при α = 0, x0 = 12 значения х0' = - 119/1728 = - 0,068866, х′' = - 0,001574. Применив формулу Тейлора и положив α = 1, получаем второй корень уравнения (8): х2 = 11,9303. Можно проверить, что два остальные корня уравнения (8) «средние» по величине, они равны 0,89429 и —0,92585.

В качестве другого примера рассмотрим нелинейную краевую задачу

(12)

Здесь естественно считать второй член в правой части воз­мущением задачи

имеющей очевидное решение у = х. Введем параметр в возмущенную задачу, записав ее в виде

(13)

и будем искать ее решения как сумму ряда

(14)

Подстановка его в уравнение и граничные условия (13) дает

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях α, получаем последовательность линейных краевых задач:

С помощью непосредственного интегрирования находим (проверьте!)

Подстановка этих выражений в (14) дает при α=0,2 искомое решение задачи (12):

Полученный ряд при хорошо сходится.

Мы рассмотрели здесь только самые простые примеры применения метода малого параметра. Далеко не всегда оказывается целесообразным разлагать решение по целым положительным степеням этого параметра. Так, если в невозмущенном решении содержалось слагаемое вида перешедшее после возмущения задачи в (т. е. параметр повлиял на частоту, но не на амплитуду), то при построении решения в виде ряда по степеням α первая поправка превращает это слагаемое в

и потому дает неправильное качественное представление о поведении возмущенного решения при t →∞.

Таким образом, неудачный выбор формы возмущенного решения может привести к ошибочным выводам. Правиль­ный выбор осуществляется с учетом предполагаемых свойств решения, обычно на основе аналогии с уже известными примерами, большое количество которых имеется в книгах, посвященных методу малого параметра, и в специальной литературе.

Для контроля качества получающегося приближенного решения можно сравнивать последовательные приближения друг с другом. Уже сравнение 0-го, 1-го и 2-го (а иногда даже только 0-го и 1-го) приближений позволяет с определенной достоверностью сделать вывод о качестве приближенного решения, так как сходимость или расходимость процесса обычно проявляются уже на его первых шагах; привлечение же еще нескольких приближений может сделать этот вывод практически достоверным. При этом, если решаемая задача кроме малого параметра включает еще конечные параметры, то может оказаться целесообразной такая проверка для нескольких типичных реальных комбинаций их значений, так как процесс, сходящийся для одних значений парамет­ров, может оказаться расходящимся для других значений. Последовательные приближения можно для контроля срав­нивать также с решением, полученным каким-либо иным методом, либо с экспериментальными данными.

3.7.4. Регулярные и сингулярные возмущения

Задача, включающая малый параметр α, может при значении α=0 либо не вырождаться, либо вырождаться (определение см. ниже). Как мы уже говорили, задача при α=0 называ­ется невозмущенной, а при α≠0 — возмущенной; как го­ворят, в задачу введено возмущение. Если задача при α=0 невырожденная, то возмущение называется регуляр­ным, в противном случае — сингулярным. Регулярные воз­мущения более просты и обычно изучаются с помощью того или иного стандартного метода; сингулярные возмущения более сложны.

Само понятие вырожденности зависит от типа изучаемой задачи. Так, если рассматривается система из п алгеб­раических уравнений 1-й степени с п неизвестными, ко­эффициенты которой зависят от параметра α, то она обычно считается вырожденной при некотором значении α=α0, если при этом значении определитель системы обращается в нуль. Тогда при α, близком к α0, этот определитель мал, и потому система становится, как правило, плохо обусловлен­ной, что вносит естественные осложнения в харак­тер зависимости решения от α. Если же α=α0, то система либо не имеет решений, либо имеет их бесконечное количе­ство. Решение возмущенной системы при α→α0 в первом случае уходит на бесконечность, а во втором, как правило, переходит в одно из решений вырожденной системы.

Покажем, как найти это предельное решение. Для этого запишем возмущенную систему в векторно-матричной фор­ме, причем все заданные функции будем считать разложен­ными по степеням α:

(1)

Будем считать, что α0=0 и что невозмущенная система

(2)

получающаяся из (1) при α=0, вырожденная, т. е. det А0=0, но имеет решения. Из алгебры известно, что для последнего необходимо и достаточно равенство нулю скаляр­ного произведения:

(3)

где z — любое решение однородной транспонированной си­стемы, т. е. (все величины считаем веществен­ными). Ограничимся для простоты самым простым и расп­ространенным случаем, когда такое решение только одно с точностью до произвольного числового множителя. Тогда и решение уравнения тоже только одно с той же точностью. Представим решение системы (1) в виде

(4)

Подставляя это разложение в (1) и приравнивая ко­эффициенты при одинаковых степенях α, получаем ра­венства

(5)

Первое из них совпадает с невозмущенным уравнением (2) и в силу стандартной формулировки «общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения» получаем

(6)

где с0 — пока не известная постоянная. Однако из условия (3) разрешимости уравнения (2), примененного ко второму уравнению (5), получаем

откуда, если находим

(7)

Итак, предельное решение невозмущенной, вырожденнойсистемы имеет вид (6)—(7). При желании можно продолжить разложение (4): для этого надо заметить, что применив условие (3) к третьему (не выписанному здесь) уравнению (5), найти постоянную с1 и т. д. Можно проверить, что условие обеспечивает возможность однозначного построения всех векто­ров х1, а потому и всего разложения (4).

Аналогично вводится понятие вырожденности и про­водится исследование сингулярного возмущения для других линейных систем — линейных краевых задач для диффе­ренциальных уравнений, линейных интегральных уравне­ний и т. д., когда при некотором значении параметра нару­шается существование либо единственность решения.

Для алгебраического уравнения произвольной степени, коэффициенты которого зависят от параметра, вырожден­ность обычно означает обращение в нуль коэффициента при старшей степени неизвестной, т. е. понижение степени урав­нения. Чтó при этом происходит, легко понять на примере квадратного уравнения

(8)

с коэффициентами а, b, с, зависящими от некоторого пара­метра α. Если т. е. при уравнение (8) вырождается, то из формулы для корней

мы видим, что если то при один из корней уходит в бесконечность, тогда как другой стремится к т. е. к решению вырожденного уравнения; если же и но то при оба корня уходят в бесконечность.