Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 116 )

ошибка неограниченно возрастает, причем с уменьшением шага сетки ошибка нарастает (увеличивается число шагов).

Выводы. Чисто неявная схема является безусловно устойчивой. Явная схема является условно устойчивой при выплнении условия

3. Метод прогонки

Обратный ход:

Достаточные условия устойчивости:

Число авифметических операций прогонки

Покажем, что (59) |αi|≤1, i= 1, 2, …, N

Индукция:

Покажем, что αi|<1 |αi+1|<1

Если

Покажем, что (59) 1-αN

При |αi|≤1 ошибка

не нарастает

Если αi+1, βi+1 возмущаются, то

где ε0 – ошибка округления.

4. Экономичные разностные схемы. Схема переменных направлений

Схемы, применяемые для решения многомерных задач и сохраняющие в себе достоинства явных и неявных схем, называются экономичними.

Экономичная разностная схема:

1) является безусловно устойчивой,

2) требует при переходе со слоя на слой числа арифметических операций, пропорционального числу узлов сетки.

Схема переменных направлений

фиксированный индекс не пишется.

Прогонка вдоль каждой строки п2=1, 2, …, N2-1 требует арифметических операций – всего Прогонка вдоль каждой строки п1=1, 2, …, N2-1 требует операций – всего Счет по схеме переменных направлений требует числа арифметических операций пропорционального числу узлов сетки и на каждый узел приходится число операций, не зависящее от числа узлов.

5. Консервативные однородные разностные схемы

Пол однородными разностными схемами (ОРС) понимаются такие схемы, вид которых не зависит ни от выбора конкретной задачи данного класса, ни от выбора разностной сетки. Коэффициетнты ОРС определяются как функционалы коэффициетнтов дифференциального уравнения («шаблонные функционалы».

ОРС сквозного (или непрерывного) счета.

Схемы, выражающиена сетке законы сохранения, называются консервативными или дивергентными.

Схемы, нарушающие законы сохранения, называются неконсервативными или дисбаланстными.

1) Интегро-интерполяционный метод (ИИМ) - метод баланса.

Рассмотрим уравнение

где к(х) и q(х) могут быть разрывными.

Уравнение (1) описывает стационарное распределение тепла в стержне. Введем равномерную сетку ωh и промежуточные потоковые узлы хі±0,5= хі±0,5h.

Закон сохранения тепла (уравнение баланса) на отрезке [хі-0,5, хі+0,5]:

где

- тепловой поток.

Предположим, что и=иi=const при хі-0,5≤х≤ хі+0,5.

Тогда

где

Проинтегрируем равенство на отрезке [хі-1, хі]:

Положим W=W і-0,5= const при хі-1≤х≤ хі+1.

Тогда

или

где

(2)-(4), (6)-(8)

где

2. Метод конечных элементов (МКЭ) – проекционно-сеточный метод.

Рассмотрим краевую задачу:

Покроем отрезок 0≤х≤ 1 системой интервалов хк-1≤х≤ хк и для каждого к≥1 введем функцию ωк(х):

где

Система функций {ωк(х)} полна в том смысле, что любую непрерывную кусочно-линейную функцию с возможными изломами в узловых точках {хк} и обращающуюся в нуль в граничных точках отрезка [0, 1] можно представить в виде линейной комбинации функций{ωк(х)}:

где в качестве коэффициентов стот значения самой функции в точках

Система {ωк(х)} обладает также некоторым сигналом свойства ортогональности.

Ищем решение задачи (11)-(12) в виде разложения по системе{ωк(х)}:

где

где

К уравнению (22) следует добавить граничные условия:

3.12.4. Асимптотические методы

Получение формул, описывающих качественное поведение решения на некотором интервале.

1. Метод малого параметра

1) Регулярные возмущения

Рассмотрим задачу Коши:

Пусть параметр μ изменяется в некоторой окрестности значения μ=0. Предположим, что при μ=0 решение задачи (1) известно. Нас интересует решение при μ≠0, но достаточно малых.

Теорема. Если функции f, направлены по всем переменным