Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 89 )

Если речь идет о реальном неоднородном теле, то в формуле (Д. 30) под надо понимать не математически, а физически (говорят также — практически) бесконечно малую область, т. е. переменную или даже постоянную область, размеры которой должны быть не слишком боль­шими, но и не слишком малыми. Смысл этого требования зависит от свойств изучаемого тела и от постановки задачи. Так, если рассматривается плотность газа, жидкости или аморфного твердого тела, то эти размеры l должны быть велики по сравнению с межмолекулярными размерами λ, но малы по сравнению с характерным макроразмерами L, на протяжении которых интересующая нас плотность может заметно измениться. (Можно принять l порядка Если перед нами дисперсная структура типа грунта, то l должно быть велико и по сравнению с микронеоднородностями среды и т. п. Когда говорят о элементах объема и массы (см. Добавление, п. 6), соответственно и то обычно имеют в виду объем и массу физически бесконечно малой области.

Формулу (Д. 30) можно понимать и в традиционном математическом смысле, если от реального тела предва­рительно перейти с помощью осреднения к его непрерывной математической модели — сплошной среде; при этом осреднение надо производить по областям указанных выше размеров. Этот переход называют разма­зыванием или континуализацией (от лат. слова «континуум»– неприрывное).

Рассмотрим еще математическое понятие устойчивости по Ляпунову равновесного состояния некоторой системы (S). Содержание этого понятия состоит в том. что при бесконечно малых возмущениях координат и скоростей системы (S) в некоторый начальный момент времени эти возмущения оста­нутся бесконечно малыми на протяжении всего дальнейшего бесконечного интервала времени (тогда исходное невозмущеяное состояние называется устойчивым) либо могут при­нять конечные значения (тогда оно неустойчиво). Но как такое понятие можно применять к реальным системам, для которых, казалось бы, рассматриваемые возмущения и ин­тервал времени всегда конечны?

Ответ на этот вопрос, как и на предыдущий, состоит в отличии математической бесконечности от физической. Ма­тематическому бесконечному интервалу времени реально соответствует время перехода из заданного равновесного состояния к другому или к некоторому незатухающему режиму движения, а бесконечно малым начальным возму­щениям отвечают любые малые непредвиденные возму­щения, которые могут реально появиться в рассматриваемых условиях. В зависимости от этих условий одни и те же возмущения при переходе к математической модели могут квалифицироваться как конечные или как бесконечно ма­лые, а потому одна и та же система — как устойчивая или как неустойчивая. В книге приведен эффектный пример по этому поводу: сооружение из трех поставленных друг на друга табуреток можно считать устойчивым, если сверху ставится модель в классе для рисования, но должно рассматриваться как неустойчивое, если при его помощи собираются сменить в люстре перего­ревшую лампочку.

Сказанное сейчас можно описать также следующим об­разом. Рассмотрим положение равновесия q = 0 для систе­мы (S) с одной степенью свободы (q — обобщенная ко­ордината) и потенциалом, показанным на рис. 2 сплошной линией.

Рис. 2

Тогда, если характерная амплитуда α знергии не­предвиденных внешних воздейст­вий значительно меньше «по­тенциального барьерам ∆U, т. е. α∆U, то этими воздействиями при исследовании устойчивости (S) можно пренебречь и пользо­ваться в математической модели заданной зависимостью U(q). Если же α имеет порядок ∆U или даже α∆U, то «практически беско­нечно малые» возмущенчя суще­ственно возрастут и модель станет качественно неадекватной. Тогда в модели зависимость U(q) надо заменить примерно так, как показано на рис. 2 штри­ховой линией. (Новую зависимость можно получить из старой с помощью осреднения по интервалам, радиус кото­рых отвечает изменению потенциальной энергии на α.) После этого перехода положение равновесия q=0 системы адекватно распознается как неустойчивое. Таким образом, масштаб непредвиденных возмущений может качественно повлиять на свойства математической модели.

Разницу между математической и практической беско­нечностями продемонстрируем еще на следующем эффект­ном примере хорошо известного в теории вероятностей пара­докса «петербургской игры». Пусть игроки А и Б подбрасы­вают правильную монету до первого выпадения герба, при­чем Б подписал обязательство выплатить A 2N-1 коп., если это выпадение произошло при N-м бросании. Сколько А должен предварительно заплатить Б, чтобы игру можно было считать справедливой? Согласно обычным правилам эта плата совпадает с математическим ожиданием выигрыша А, которое, казалось бы, равно

Но сумма ряда, стоящего в скобках, равна бесконечности, т. е. получается, что сколько бы ни внес А предварительно, игра — в его пользу. Однако здравый смысл показывает, что это не так. В чем же дело?

Разгадка этого парадокса в том, что реальное проведение такой игры, на которое ориентируется здравый смысл, прин­ципиально отличается от приведенной математической мо­дели, которая, таким образом, качественно неадекватна. В самом деле, зта модель предполагает, что Б в состоянии выплатить как угодно большую сумму, если N окажется достаточно большим. Но ясно, что если, например, Б должен выплатить 109 руб., он этого заведомо не сделает, каким бы добросовестным он ни был: 109 руб. в данном случае есть практическая бесконечность. Это заставляет пересмотреть модель реальной игры. Допустим, что Б может выплатить никак не более 105 руб. = 107 коп. (результат не очень зависит от этого конкретного значения, если оно реально). Тогда, так как 223<107<224, математическое ожидание выигрыша при указанном ограничении оказывается равным

Значит, даже предварительная выплата 13 коп. несправед­лива по отношению к А. Вот к чему привели неадекватность модели, основанная на подмене практической бесконечности математической бесконечностью!

3.6.16. Ограничения на сложность мате­матических моделей

При анализе сложных систем возможность применения мате­матических моделей в значительной степени зависит от сложности их программной реализации и времени моделирования, необходи­мого для расчета искомых характеристик. Если оценку показате­лей качества реальной системы осуществляют по результатам ста­тистического моделирования, то достоверность принимаемых ста­тистических выводов определяется точностью имитации процессов в реальной системе, временем проигрыша одной случайной ситуа­ции и тем количеством реализаций, которые нужно провести на модели. Если точность рассчитываемых оценок задана, а время моделирования ограничено рядом технических условий или соображений, разработка алгоритмов моделей, сравнительно просто реализуемых на средствах используемой вычислительной техники, приобретает важное практическое значение. Однако стремление к простоте математических описаний находится в известном проти­воречии с точностью имитации исследуемых процессов. Поэтому при разработке допустимых вариантов структурного описания каждого оператора модели системы нужно учитывать:

1) требования к точности оценок характеристик качества работоспособности или эффективности системы;

2) возможности практической реализации моделей на используемых ЭВМ;

3) ограничения на интервал времени, необходимый для получения оценок.

Указанные требования и ограничения определяют некоторую совокупность условий, которые необходимо реализовать при выборе наилучшего варианта построения математической модели системы. Обычно эти ограничения, по своему физическому смыслу ха - рактеризующие пределы изменения параметров системы, относят к ограничениям второго рода и записывают для каждого структурного описания модели системы в виде системы неравенств:

(1)

где — некоторые функции вектора параметров модели с.

Кроме того, при разработке моделей сложных систем учитывают ограничения первого рода, которые выражают в виде некоторой системы равенств относительно известных функций:

(2)

K ограничениям первого рода относят уравнения, описывающие процессы в реальной системе, а также некоторые другие условия которые могут быть выражены с помощью подобных соотношений.

Часто, чтобы учесть ограниченный объем информации, получаемой при проведении физических экспериментов, в системы уравнений (1), (2) вводят равенства и неравенства математических ожиданий от соответствующих функций:

(3)

где у — вектор случайных последовательностей или процессов, полученный при проведении физических экспериментов.

Однако при недостаточной априорной информации записать в явной форме все ограничения не удается (такой случай характерен для сложных систем). В связи с этим многие ограничения удается сформулировать только в виде некоторых рекомендаций, в форме словесных формулировок, а иногда и в виде общих пожеланий относительно допустимой сложности структурного описания разрабатываемой модели. Такая неопределенность значительно усложняет процедуру выбора наилучшего варианта построения математической модели.