Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 46 )

3. Введение в математическое моделирование

3.1 Основные понятия и принципы математического моде­лирования.

3.1.1. Понятие математической модели.

Начнем с простей­шего примера (рис. 1). Пусть груз массы т колеблется на горизонтальной плоскости под действием пружины нулевой массы с жесткостью k.

Рис. 1

Предположим, что противодейству­ющие силы (в частности, сила трения) пренебрежимо малы и нас интересуют характер и час­тота колебаний.

Для решения направим ось х вдоль линии колебаний и выбе­рем на ней начало отсчета, отвечающее равновесному положе­нию груза, при котором пружина находится в нейтральном состоянии, т. е. ни сжата, ни растянута. Тогда, если положению груза соответствует ко­ордината х, то на него действует сила — kх. Применяя второй закон Ньютона, получаем дифференциальное уравнение

(1)

с общим решением (проверьте!)

(2)

Здесь — произвольные постоянные, определяемые, например, из начальных условий. Таким образом, груз совершает гармонические колебания с центром в точке х=0, с произвольной амплитудой и с угловой частотой

Мы видим, что интересующие нас утверждения получены не из непосредственного рассмотрения механической систе­мы (рис. 1), а из решения дифференциального уравнения (1). Это уравнение является математической записью физических условий и законов, определяющих процесс колебания системы, и потому называется математической моделью рассматриваемой системы (или процесса ее ко­лебаний) .

Конечно, уравнение (1) описывает не все стороны рассматриваемого процесса. Так, из него нельзя найти ам­плитуду колебаний: для этого требуются добавочные дан­ные — например, начальные условия. Далее, в реальной системе колебания все-таки затухают, но никаких сведений об этом мы получить из уравнения (1) не можем. Для некоторых вопросов могут оказаться существенными форма груза или расположение его центра масс, о чем также уравнение (1) не говорит, и т. д.

Перейдем к общему определению. Пусть мы собираемся исследовать некоторую совокупность S свойств реального объекта а с помощью математики (здесь термин объект понимается в наиболее широком смысле: объектом может служить не только то, что обычно именуется этим словом, но и любая ситуация, явление, процесс и т. д.). Для этого мы выбираем (как говорят, строим) «математический объект» а' — систему уравнений, или арифметических со­отношений, или геометрических фигур, или комбинацию того и другого и т. д.,— исследование которого средствами математики и должно ответить на поставленные вопросы о свойствах S. В этих условиях а' называется математичес­кой моделью объекта а относительно совокупности S его свойств. Так, в разобранном примере объектом а была колебательная механическая система, объектом а' — урав­нение (1), совокупностью S — характер и частота колебаний.

3.1.2. Общая схема применения математики

Как было сказано в п. 3.1.1, математика применяется не непосредствен­но к реальному объекту, а к его математической модели. В самых общих чертах схема этого применения показана на рис. 1.

Рис. 1

Исходя из реального объекта, мы формулируем интере­сующие нас и иные связанные с ними его свойства на языке той или иной науки, другими словами, строим механичес­кую, либо физическую, либо биологическую, либо социаль­ную и т. п. модель объекта; такую модель мы будем впредь называть содержательной. Так, в примере п. 3.1.1 содержательная (механическая) модель была описана в первом абзаце пункта и схематически изображена на рис. 1 п. 3.1.1.

При построе­нии содержательной модели формулируются и соответству­ющие гипотезы (говорят также — постулаты модели); в примере п. 3.1.1 — это ги­потезы о линейной за­висимости силы упру­гости пружины от ее рас­тяжения, о равенстве ну­лю массы пружины, а также об отсутствии про­тиводействующих сил. Кроме того, включение модели в ту или иную науку дает возможность применять законы и иные утверждения, установленные в этой науке (в примере п. 3.1.1 1 — второй закон Ньютона). Естественно, что при построении содержательной модели мы отвлекаемся от различного рода неидеальностей, неправильностей изучае­мого реального объекта (конечно, если эти неидеальности не являются сами предметом исследования), переходим к его упрощенному, схематическому описанию.

На основе содержательной модели мы выписываем соот­ветствующие уравнения или как-то иначе переводим ее на формальный математический язык и тем самым переходим к математической модели; в этом заключается первый этап — построение модели. Он существенно опирается на неформальное обсуждение постановки задачи и необхо­димую квалификацию исследователя в рассматриваемой области. Выясняется характер законов и связей, действующих в системе. В зависимости от природы модели эти законы могут быть физическими, химическими, биологическими, экономическими.

Если математическая модель описывается некоторыми уравнения­ми, то такая модель называется детерминированной. Рассмотренные в курсе методов математической физики начально-краевые задачи явля­ются примерами детерминированных дифференциальных моделей.

Если модель описывается некоторыми вероятностными законами, то такая модель называется стохастической.

1) Выделение существенных факторов.

Основной принцип: если в системе действует несколько факторов одного порядка значимости, то все они должны быть учтены, или все отброшены.

2) Выделение дополнительных условий (начальных, граничных, условий сопряжения и т. д.).

Задача моделирования — выявить главные, характерные черты яв­ления или процесса, его определяющие особенности.

Применительно к исследованию физических явлений создание ка­чественной модели — это формулировка физических закономерностей явления или процесса на основании эксперимента.

Второй этап состоит в изучении математической модели, попросту говоря — решении полученной математической задачи. Мы выбираем метод этого решения и реализуем его; сюда входит и проведение всех необходимых вычислений, в том числе и на ЭВМ. Это изучение проводится в рамках математики, но имеется и одна важная особенность. Все элементы математической модели (в частности, все участву­ющие величины) являются как бы метками соответству­ющих реальных элементов. Это дает возможность в процессе решения математической задачи привлекать дополнитель­ные сведения (штриховые стрелки на рис. 1), которые могут упростить этот процесс, либо выделят из нескольких ре­шений то, которое нужно, и т. д. Получив решение математической задачи, нам нужно его проанализировать, разобраться в его реальном смысле, сде­лать выводы. В этом состоит третий этап — этап интерпре­тации (истолкования) результата исследования математи­ческой модели. В него может входить и контроль пра­вильности (как говорят, верификация) модели на основе сравнения результата с другими известными фактами, в частности с экспериментальными данными, и т. д.

При изучение математической модели выполняют следующие работы:

1) Математическое обоснование модели.

Исследование внутренней непротиворечивости модели.

Обоснование корректности дифференциальной модели. До­казательство теорем существования, единственности и устойчи­вости решения.

2) Качественное исследование модели. Выяснение поведения модели в крайних и предельных ситуациях.

3) Численное исследование модели.

а) Разработка алгоритма.

б) Разработка численных методов исследования модели Разрабатываемые методы должны быть достаточно общи­ми (пригодными для исследования математических моделейдостаточно широкого класса) и алгоритмичными (обеспечиваю­щими автоматизацию вычислений).

Новое требование — возможность распараллеливания (ис­пользование кластерных вычислительных систем)

в) Создание и реализация программы.

Компьютерный эксперимент.

По сравнению с лабораторным (натурным) экспериментом компьютерный эксперимент дешевле, безопасней, может прово­диться в тех случаях, когда лабораторный эксперимент принци­пиально невозможен.

4. Получение результатов и их интерпретация.

Сопоставление полученных данных с результатами качественно­го анализа, натурного эксперимента и данными, полученными с помо­щью других численных алгоритмов.

Уточнение и модификация модели и методов ее исследования.

5. Использование полученных результатов.

Предсказание новых явлений и закономерностей.

Описанные этапы тесно связаны между собой, и их расчленение является до некоторой степени искусственным. Математическая модель обычно строится с ориентацией на предполагаемый метод решения математической задачи — в частности, с учетом того, будем ли мы привлекать ЭВМ и если будем, то какой мощности. С другой стороны, при проведении математического исследования или интерпре­тации решения может понадобиться уточнить или даже существенно изменить математическую модель.

В заключение отметим, что в учебных упражнениях, а также во многих научных исследованиях обычно строят математическую модель не конкретного реального, «желез­ного» объекта, а «условно реального», как это сделали и мы в п. 1, т. е., по существу, отправляются от уже готовой содержательной модели. Конечно, это облегчает дело.

3.1.3. Множественность и единство моделей

Реальный объект может иметь несколько неравносильных матема­тических моделей. Это прежде всего связано с необходимо­стью исследования различных систем S1, S2,... его свойств. Но даже принципиально разные математические модели рассматриваемого реального объекта могут появиться и при изучении одной и той же системы свойств. Так, объект можно описывать с помощью как непрерывной, так и диск­ретной модели, как детерминированной, так и стохастичес­кой и т. д. Выбор типа модели, весьма существен­ный для направления исследования, может естественно под­сказываться моделируемым объектом или разумными тра­дициями, однако и тогда полезно иметь в виду возможность изменить этот тип. (Впрочем, нередко тип модели выбирает­ся из слепого подражания или определяется пробелами в образовании исследователя.) Для сложного реального объек­та сравнение результатов его исследования с помощью мо­делей разного типа может обогатить познания о нем, а также значительно повысить их достоверность.