Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 96 )

Проведенное исследование в рассмотренных задачах, конечно, не является исчерпывающим. Так, в двух пос­ледних примерах мы приняли, что сила нарастает по линей­ному закону, тогда как в действительности этот закон может быть каким-либо иным. Поэтому привлечение к рассмот­рению других таких законов сделало бы наши выводы более убедительными. Но и проведенный разбор дает правильное представление об условиях применимости упрощенных мо­делей и формул. Кроме того, надо учесть, что и сами критерии применимости (в наших примерах — расхождение не больше чем на 5 %) не имеют категорического характера, так что если мы исходим из 5 %, а в действительности получится то вряд ли кто-нибудь будет особенно возражать.

3.8. О решениях

3.8.1. Распределение требований к точности моделирования систем

При разработке моделей важно организовать работу так, чтобы программирование моделирующих алгоритмов систем велось параллельно и была уверенность в том, что точность описания процессов в системах обеспечивает требуемую точность расчета выходных показателей эффективности всей системы.

Чтобы удовлетворить этим требованиям на практике рассматривют целый комплекс задач, связанных с определением допустимых ошибок в имитации процессов в каждой системе. Причем на начальном этапе в условиях неполной информации при постановке этих задач обычно используют очень упрощенное описание для всей системы, но такое, чтобы оно достаточно полно отражало вероятностную природу функционирования реальной системы. Для этих условий, если не вводить новых обозначений для упрощенного оператора системы и предположить, что ошибки моделирования можно выразить через суммарные ошибки задания вектора параметров с, то на основании формулы

для каждого фиксированного входного сообщения нетрудно получить уравнение, связывающее вариации параметров модели с отклонениями критерия качества от некоторого номинального значения:

(1)

Если компоненты вектора состояния в моменты времени терпят разрывы, что возможно при рассматривае­мом описании систем (выход из строя элементов системы, разрывы непрерывности в моменты включения и выключения системы, в не­которых случаях процессы преобразования в для произвольных t и т. д.), то полная вариация когда оператор Н* аддитивен и однороден по

при - свойство дистрибутивности оператора

Н*) может быть записана так:

(2)

При записи (2) предполагалось, что текущие моменты про­цесса функционирования системы (при и вектор ее состояния являются функциями от вектора параметров мо­дели с, а момент включения t0 системы не зависит от с. Вероятно­стная природа процесса функционирования рассматриваемых си­стем приводит к тому, что производную необходимо понимаи как производную случайной вектор-функции по вектору параметров с. В дальнейшем будем определять указанную производ - ную как производную Гато (слабая производная):

(3)

где μ — некоторое вещественное число.

Для определения производной входящей в (2), необходимо знать уравнение поверхности

(4)

на которой в моменты времени вектор состояния

системыизменяется скачком. Используя правила дифферен-

инрования неявной функции, нетрудно получить:

(5)

При практических расчетах необходимо помнить, что для боль­шинства реальных элементов эти уравнения определяют процессы скачкообразного изменения переменных в моменты времени Производные, входящие в (5), как и производная

— слабые производные.

Так как ошибки моделирования являются в общем случае случайными величинами, то при разработке моделирующего алгоритма

системы с учетом принятых методов его дискретной реализации

целесообразно потребовать, чтобы вероятность его последующей доработки после проведения натурных испытаний не превышала некоторой заданной величины , т. е.

(6)

где ∆ — величина, характеризующая требуемую точность расчета показателя эффективности системы

При разработке моделей реальных систем величину ∆ задают на основании опыта, с учетом целевого назначения системы и тех требований, которые предъявляют технические задания на точность оцениваемых показателей качества. Но так как уравнение связи между и одно, то решений уравнения о распределении

требований к точности моделирования подсистем может быть получено бесчисленное множество. Поэтому при разработке моделей систем привлекают экспертов и на основании их оценок строят совокупность весовых коэффициентовопределяющих алгоритм распределения ∆ по каждой системе:

(7)

Кроме рассмотренного выше способа, можно предложить и другие способы, среди которых нужно выделить один простой и в то же время достаточно наглядный способ деления ∆ на части ∆і. По этому способу весовые коэффициентырассчитывают как суммы относительных ошибок оценки параметров каждой i-й системы:

(8)

Когда значения найдены, расчет нетрудно осуществить по (7).

Необходимость постановки и решения подобных задач определяется тем, что при известных требованиях значительно упрощается выбор метода моделирования и способов дискретной реализации операторов, описывающих процессы в реальных элементах систе­мы. Если модель разрабатывают для оценки векторного показате­ля то задача распределения требований к точности моде­лирования систем получается более сложной, чем в рассмотрен­ном выше примере.

3.8.2. Методы построения и исследования решений

Мы - будем рассматривать для определенности математические модели, имеющие вид дифференциальных уравнений, обык­новенных или с частными производными, с соответству­ющими начальными или граничными условиями. С необ­ходимыми изменениями наше обсуждение можно распрост­ранить и на другие типы моделей.

Методы математического анализа можно грубо подраз­делить на качественные, аналитические и численные.

С помощью качественных методов свойства решения изуча­ются без его построения, путем анализа свойств заданного уравнения. Применение этих методов требует большой ма­тематической подготовки и наименее поддается алгорит­мизации.

Приведем пример качественного исследования. Рассмот­рим нелинейный аналог уравнения (1.п.3.1.3):

(1)

описывающий колебания осциллятора с нелинейными зако­нами упругости и трения. Будем предполагать, что обе функции f u g непрерывные и возрастающие, причем и докажем, что все решения уравнения (1) стремятся к нулю при Доказательство будем проводить на наглядном уровне, принимая, что если какая-либо функция φ при стремится к постоянной, то в этом процессе. (Практически это всегда так, хотя тео­ретически возможны исключения, поэтому имеется более сложное доказательство, не зависящее от этого наглядного допущения.) Пусть x(t) — какое-либо решение уравнения (1). Введем функцию