Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 70 )

Л е м м а 2 Отображение р открыто (т. е. если подмножество открыто, то открытым будет и подмножество

Д о к а з а т с л ь с т в о. Но множество открыто в X, поскольку проекция рr2 нерегулярна (лемма 2 из п.3.5. 11).

Лемма 3. Если существует такое открытое под­множество что и — много­образие, то факторпространствотакже является многообразием.

Доказательство. Каноническое отображение - гомеоморфизм. Если мы докажем теперь, что — корегулярный морфизм, то, перенеся структуру аналитического многообразия с на мы превратим факторпространство в аналитическое многообразие, причем отображение р будет корегулярно. Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму:

Отображение как легко видеть, корегулярно. Значит, поскольку проекция рr2 корегулярна, отображение β является морфизмом, и даже корегулярным (лемма 11.2).

Комбинируя леммы 1, 2 и 3, мы получаем следую­щее утверждение.

Лемма 4. Если существует такое открытое по­крытие многообразия Х, что все — мно­гообразия, то факторпространство также является многообразием.

Суть леммы 4 заключается в том, что наша за­дача о построении структуры многообразия на факторпространстве (при условии корегулярности ото­бражения р) приобрела теперь локальный характер. Остальные две леммы будут посвящены решению этой локальной задачи. Именно: мы покажем, что для каждой точки найдется такая ее открытая окрестность что фактормножество обладает структурой многообразия, относительно которой про­екция корегулярна.

Лемма 5. Пусть Тогда существуют открытая окрестность U точки х0, подмногообразие и морфизм такие, что для любой точки имеет место сравнение причем r(и) — единственный элемент из W, удовле­творяющий этому сравнению.

Доказательство. Обозначим через N множе­ство всех касательных векторов таких, что Выберем подмногообразие проходящее через точку х0, касательное пространство к которому является дополнительным к под­пространствуПоложим

Будем утверждать, что

1°. Σ — подмногообразие в R;

2°. — наложение в точке

Заметим, что— корегулярный морфизм, поскольку морфизм рr2 корегулярен и R — сим­метричное отношение. Утверждение 1° получается при­менением теоремы 6 из п.3.5.11 к проекции и вложению

Далее, из определения N ясно, что

Поскольку заключаем, что— инъекция. С другой стороны, отображение сюръективно. Действительно, пусть Возьмем любой вектор (например, такой, что Представим ξ в виде где Тогда поскольку Следовательно, элемент

лежит в пересечении Остается заметить, что (теорема 5 из п.3.5.11) и

Итак, доказано, что наше отображение есть локальный изоморфизм в точке Поэтому найдутся такие окрестности U1 и U2 точки х0, что — изоморфизм. Обозначим че­рез f обратное отображение. A priori морфизм f имеет вид: . Заметим, что если Первое очевидно, а второе вытекает из того обстоятельства, что точки лежат в и их образы в U2 совпадают.

Положим, наконец,

и

Множество U, очевидно, является открытым. Мы должны установить, что

(б) r(х) — единственный элемент в W, эквивалент­ный элементу

Установим это.

(а) Пусть Нужно показать, что т. е. и Первое очевидно; что же касается второго, то достаточно заметить, что и

(б) Если и то Но поскольку и проекция инъективна, точки и у совпадают.

Ле м м а 6. Если тройка удовлетворяет условиям предыдущей леммы, то пространство является фактор многообразием.