Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 118 )

Перейдем к переменной t:

где

- непрерывная функция.

Вырожденное уравнение при μ=0

имеет решение

Сравним решение и уравнений (7) и (9). Для которых при х=а.

Для получим уравнение

решение которого удовлетворяет уравнению:

где

Решение (11) заведомо существует и единственно при

где

Поскольку

где

то решение (11) существует и единственно при

При этом условии

где

Замечание. Для уравнения

аналогично получаем:

3. Метод усреднения Крылова-Боголюбова

Рассмотрим работу лампового генератора с контуром в цепи сети.

Если бы триод Т отсутствувал, то в контуре RLC могли бы возникнуть затухающие электромагнитные колебания. Однако, благодаря связи между катушками L и L1 (М – коэффициент взаимной индукции) в системе возникают автоколебания.

Автоколебания называются незатухающие колебания в диссипативных нелинейных системах, которые поддерживаются за счет внешнего источника энергии. Характерной особенностью автоколебаний является отсутствие внешнего периодического воздействия.

Для напряжения U получается дифференциальное уравнение

где S(U)≈ S2 - S2U2 – сетчатая характеристика лампы. Точка обозначает производную по времени.

Пусть

Введем новые переменные:

малый параметр

(3), (4)

Уравнение (5) называется уравнением Ван дер Поля.

Рассмотрим задачу Коши:

Если искать решение задачи (6), (7) в виде

то

а для у1(t) получаем резонансный случай

и решение неограниченно возрастает по времени:

Для решения задачи (6), (7) используем метод Крылова-Боголюбова. Этот метод основан на принципе усреднения, заменяющем точное решение дифференциального уравнения усредненным. Он особенно удобен для исследования нелинейных колебательных процессов.

Рассмотрим систему

где ε – малый параметр. Пусть Х – достаточно гладкая функция по х и t и обладает свойством «возвращенности» по t, т. е. среднее значение

например, Х периодическая или почти периодическая функция t. Если Х периодическая с периодом 2π по t функция, то (10)

Согласно методу Крылова-Боголюбова, т-е приближение к решению х(t) системы (9) имеет вид:

где ξ=ξ(t) – решение усредненного уравнения

где функции иі(ξ, t) и Аі(ξ) подбираются из того условия, чтобы выражение (12) удовлетворяло уравнению (9) с точностью до членов порядка εт+1 и чтобы иі(ξ, t) обладали по t той же «возвращенностью», что и Х(х, t). Функции иі находятся элементарно, а функции Аі определяются в результате усреднения правой части системы (9) после подстановки в нее выражения (12).

Замечание. При вычислении интегралов (10) и (11) х рассматривается как параметр и усреднение происходит по явно входящему t.

Разложим правую часть (9) по ε:

Первое приближение:

Подставим (12) в (9) и учтем члены первого порядка:

где

Учитывая члены первого порядка (16)-(18)

Положим

Второе приближение:

Подставим (12) в (9) и учтем (23). Учитывая члены второго порядка и формулу (22), получим:

где

Положим

Этот процесс можно продолжить, но обычно ограничиваются одним-двумя приближениями, так как быстро возрастает сложность вычисления

В теории метода Крылова-Боголюбова доказывается, что если Х(х, t) обладает необходимой гладкостью и «возвращенностью» (например периодичностью) по t при фиксированном х, то на участке

Запишем уравнение (6) в виде системы и поставим задачу Коши:

Будем искать решение задачи (28) в виде

где а и θ – функции t.

Система (30) совпадает с (9), если положить

Обозначим также

Первое приближение:

Усредненная система имеет вид:

Полагая х1=ξ, получим:

При t→∞ решение выходит на стационарный режим: y(t)= 2 cos t.