Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 113 )

В качестве другой распространенной ошибки укажем на недостаточное внимание к доброкачественности исходных данных. Большой труд, потраченный на реализацию самого точного численного метода, будет в значительной мере обесценен, если воспользоваться неверными или чересчур неточными исходными данными. Более того, если не об­ратить внимания на недостоверность этих данных, то можно сделать неверное представление о доброкачественности окончательного вывода, причем соблазн поверить в такой вывод будет тем большим, чем более трудной была мате­матическая задача. Когда же недоброкачественность резуль­тата будет обнаружена, весь метод может оказаться незаслуженно опороченным. Поэтому выбираемый метод решения задачи должен быть рассчитан на введение в него только таких данных, которые можно реально получить с требуемой достоверностью. Если достаточно точные исходные данные получить не представляется возможным, то во многих слу­чаях бывает целесообразно изменить метод — обычно упро­стив его, чтобы труд, связанный с применением метода высокой точности, не оказался напрасным.

Печальную роль может сыграть ошибка в выборе вы­числительного алгоритма. Метод, корректный в «домашин­ном» понимании, может оказаться неустойчивым относи­тельно ошибок округления, что довольно часто бывает при решении краевых задач на ЭВМ. Это может привести даже к неправильным выводам о свойствах мо­делируемого объекта, так как чисто вычислительный эффект можно принять за физический. Например, если произво­дится расчет течения жидкости и при переходе характерной скорости потока через некоторое значение решение из «глад­кого» превращается в сильно осциллирующее, то это не обязательно говорит о смене ламинарного режима турбулен­тным: может оказаться, что при этом переходе применяемый вычислительный метод стал неустойчивым.

Встречаются и многие другие ошибки математического характера. Здесь можно посоветовать только осваивать при­меняемую область математики, разбирать методы приме­нения математики к задачам, аналогичным интересующим Вас, накапливать опыт и интуицию, а в случае осложнений обращаться к специалистам за консультацией.

3.12. Некоторые методы исследования математических моделей

3.12.1. Вариационные методы решения краевых задач и определения собственных значений

1. Принцип Дирихле

Уравнение Эйлера:

Уравнение Лапласа ∆и(х, у)=0 есть уравнение Эйлера задачи на минимум задачи Дирихле

Непрерывные в функции, кусочнонепрерывно дифференцируемые в , которые принимают на кривой Г изнутри заданные непрерывные значения и итеграл Дирихле от которых конечен, называются допустимыми функциями.

Первая вариационная задача: среди допустимых функций найти такую, которая доставляет минимум итегралу Дирихле. Теорема. Если заданная на кривой Г функция такова, что класс допустимых функций не является пустым, то задача Дирихле (4), (5) и первая вариационная задача эквивалентны.

Доказательство. 1) Пусть

решение первой вариационной задачи. Класс допустимых функций ищем в виде:

где

интеграл (3) от h конечен и - произвольная постоянная.

где

Из (7) и произвольности

произвольная функция (11)

2) Пусть теперь и(х, у) – решение задачи (4), (5), а - класс допустимых функций, причем для и(х, у) и h(х, у) имеет место формула

Из (12) и того, что органическая функция следует, что Поэтому из (7)

т. е. и минимизирует интеграл Дирихле и является решением первой вариационной задачи.

Замечание. Существуют и другие краевые задачи для уравнения Лапласа, которые имеют эквивалентные им вариационные задачи для интеграла Дирихле, например, задача Неймана. Метод сведения краевых задач для уравнения Лапласа к эквивалентным им вариационным задачам носит название принципа Дирихле.

2. Задача о собственных значениях

Вторая вариационная задача: среди допустимых функций, удовлетворяющих условию (15), найти ту, для которой функционал.

где

принимает наименьшее значение.

Теорема 1. Если и(х, у) – решение второй вариационной задачи, то и(х, у) является решением задачи (14)-(16) .

Доказательство. 1) Пусть и решение второй вариационной задачи, причем наименьшее значение

Для класса допустимых функций где - произвольная постоянная, h(х, у) - произвольная доустимая функция имеем

где

Так как F() при =0 имеет минимум, то

Подставим (23) в (22):

Так как то из (24)

контур Г достаточно гладкий

- произвольная функция

Теорема 2. Среди собственных значений задачи (14)-(16) найденное собственное значение является минимальным.

Доказательство. Пусть некоторое собственное значение и (х, у) соответствующая собственная функция.

Так как

где – класс допустимых функций, то

3.12.2. Некоторые алгоритмы проекционного метода

1. Общая схема алгоритмов

где А, В – линейные операторы в гильбертовом пространстве Н; - область определения. - плотно в Н. Введем оператор