Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 120 )

Уравнения, описывающие процессы в системе, должны быть нелинейными.

Поцессы в среде должны протекать согласованно.

Синергетика изучает процессы образования структур в сложных самоорганизующихся системах.

2. Модель брюсселятора

Базовая модель синергетики, предложенная в 1968 году Пригожиным и Лефевром, позволяет выявить условия возникновения типов самоорганизации в химических и биологических системах. Представляет собой схему гипотетических химических реакций, происходящих в тонком и длинном (одномерном) сосуде-реакторе длинной l.

Закон действующих масс

где к – постоянная реакции, - концентрации.

Схема реакции:

вещества Х и Y остаются в реакторе, вещества и Е удаляются (система открытая), к-і кі, і=1, 2, 3, 4.

где - коэффициенты диффузии.

Замена переменных:

Начально-краевая задача (7)-(10) является моделью брюсселятора.

Исследуем стационарные однородные по пространству решения (7)-(8)

Единственное решение

Будум менять и В. Если В невелико, то независимо от начальных данных через определенное время установятся концентрации

Устойчивое стационарное решение, на которое, незавасимо от начальных данных, выходят распределения параметров при небольших внешних воздействиях называются термодинамической ветвью.

Зафиксируем и будем увеличивать В. Начиная с критического ВС происходит выход на немонотонные стационарные распределения концентраций, возникающие вне термодинамической ветви и называемые Пригожинскими диссипативными структурами.

Стационарные решения (13) удовлетворяют задаче при любых В. При В>ВС появляется несколько стационарных решений, т. е. происходит ветвление решений или бифуркация.

Зафиксируем В>ВС и будем менять . При некоторых В с разных классов начальных данных в одной и той же нелинейной среде происходит выход на разные стационары.

Причиной возникновения структур являются внутренние свойства системы, а поводом – внешние флуктуации. Для учета флуктуаций в правые части (7) и (8) добавляют случайные функции.

Резонансное воздействие на систему в окрестности ВС: слабые воздействия вызывают сильный эффект.

Определение ВС. Линеаризуем уравнения (7) и (8):

Подставим (15) в (7) и (8) и отбросим члены второго порядка и выше:

Найдем частные решения вида

Если для всех т, то термодинамическая ветвь (14) устойчива (малые В).

Если при то при В>ВС возникают структуры.

Если при В=ВС для некоторого т , то функции периодические и в системе возникают колебания (обычно ).

Добавление

1. Вывод некоторых уравнений математической физики.

а. Уравнение теплопроводности. Пусть тепло распростра­няется в некотором теплопроводящем теле; рассмотрим в нем произвольную область (Ω) в какой-то момент t времени. На поверхности (S) этой области определен тепловой поток с плотностью q, так что через элемент (dS) поверхности за время dt проходит тепловая энергия где п — направление внешней нормали к (S). Таким образом, через (S) за время dt проходит тепловая энергия

в направлении изнутри наружу.

С другой стороны, в элементе объема содержится тепловой энергии, где с — удельная теплоемкость, ρ — плотность тела, а θ — температура в данной точке в данный момент времени. Предполагай, что внешние источ­ники тепла отсутствуют, составляем баланс тепловой энер­гии за время dt:

— частный дифференциал, вычисляемый по формуле Применяя к правой части формулу Остроград­ского, а к левой — правило Лейбница о дифференцировании интеграла по параметру (в данном случае по t), получаем

Выбрав область (Ω) бесконечно малой, получаем отсюда уравнение

(Д.1)

Примем для теплопроводности закон Фурье: плотность теплового потока пропорциональна градиенту температуры, (подумайте, почему здесь берется минус), где λ — коэффициент теплопроводности тела. Этот закон под­разумевает, в частности, что по отношению к теплопровод­ности рассматриваемое тело изотропно. Кроме того, будем считать величины с, ρ, λ. постоянными (это, в частности, означает, что тело является однородным) и введем ко­эффициент температуропроводности Тогда из уравнения (Д.1) получим окончательно уравнение теплоп­роводности

(Д.2)

Мы предоставляем читателю показать, что при наличии внешних источников тепла с плотностью ρ (вообще говоря, зависящей от точки пространства и момента времени) теп­ловой процесс описывается, взамен (Д.2), неоднородным уравнением теплопроводности

(Д. З)

Комбинация div grad появляется во многих задачах и называется лапласианом; она обозначается также или ∆. В декартовых координатах x, у, z лапласиан имеет выражение

(Д.4)

б. Уравнение продольных упругих колебаний прямоли­нейного стержня. Пусть ось х направлена вдоль стержня. Обозначим и =и (х, t) смещение вдоль этой оси в момент t поперечного сечения, которое в свободном равновесном сос­тоянии стержня имело абсциссу х. (Это значение х называ­ется лагранжевой координатой рассматриваемого сечения; она не зависит от времени в отличие от эйлеровой координа­ты х + и этого сечения.) Тогда относительное удлинение стержня в сечении с координатой х равно Это удлинение порождает упругую силу где S — площадь поперечного сечения стержня (изменением S при удлинении стержня пренебрегаем), а — упругое напряжение. Предполагая, что других сил, кроме силы упругости, нет, мы можем, применив второй закон Ньютона к элементу (dx) стержня, написать