Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 38 )

2. Но даже если говорить о каких-либо фиксированных наборах исследуемых свойств и отношений между пред­метами внешнего мира, то и для их описания вовсе не необходимо требование изоморфности описания как га­рантии его «адекватности». Поскольку, вопреки букваль­ному пониманию общего определения понятия модели (см. п.2.1, пп. 2 и 5), мы согласны допустить некоторое «не­равноправие» «оригиналов» и их «моделей»: нам доста­точно требовать не «эквивалентности» их (т. е. изоморфиз­ма), а лишь гомоморфизма модели оригиналу. К тому же сам по себе акт выделения интересующей нас «подсигнатуры» из «полного набора атрибутов»— и это чрезвычайно существенно! — является гомоморф­ным преобразованием исходной «полной сигнатуры».

3. Уже говорилось (все в том же п.2.1), что «модель» может не быть гомоморфным образом самой «реальности», а включать в себя некоторые «идеальные» элементы, не имеющие прямых прообразов в реальном мире. Но и в этом случае совокупность всех ее «собственных» (т. е. имеющих реальные прообразы) элементов можно считать гомоморфным образом подлинной реальности.

4. Необоснованные и ненужные претензии на непре­менный изоморфизм концептуальных схем описываемым им фрагментам Мира имели одним из подсознательных источников традиционное убеж-дение в том, что все модели «по настоящему хороших» формальных теорий (в первую очередь математических) непременно изоморфны между собой, иными словами, что такие аксиоматические системы категоричны; не­категоричность претендующих на «полноту» систем ак­сиом (в первую очередь этоотносится к формаль­ной арифметике) представлялась весьма мало ве­роятной. Тем замечательнее то, что, как следует, с одной стороны, из теоремы Лёвенгейма — Скулема о существо­вании моделей произвольной мощности для непротиворе­чивых систем аксиом, а с другой — из теоремы Гёделя о неполноте аксиоматической арифмети­ки, категоричность является не правилом, а лишь исключением, и притом не слишком важным: она возможна лишь для систем с конечными моделями.

5. Еще более гибкой и удобной для описания «отобра­жений бытия в сознание» представляется схема, использую­щая описанное выше обобщение понятия гомоморфизма: отношение метаморфизма. Следует при этом заметить, что, не предрешая точных алгебраических формулировок на этот счет, можно мыслить метаморфизм также в тер­минах гомоморфизма, однако уже «многоступенчатого», включающего в себя отображение (однозначное, но, вооб­ще говоря, не взаимно-однозначное) не только основных множеств (предметных областей) сопоставляемых систем, но и их сигнатур. В отличие от «классического» понятия гомоморфизма, отношение метаморфизма должно уже, строго говоря, вводиться для систем, для которых фик­сируются не только выразительные, но и де­дуктивные средства: условия «сохранения предика­тов» для высших ступеней индивидов (т. е. для предика­тов), аналогичные импликациям, фигурирующим в опре­делении отношения гомоморфизма, носят теперь характер «определяющих соотношений» для таких «многоосновных» систем, т. е. являются по су­ществу их аксиомами.

6. Уже в п. 5 (и выше) высказывалось предположение о принципиальной возможности понимания метаморфиз­ма как гомоморфизма для алгебраических систем с не­сколькими сортами объектов, между которыми установлены отношения теоретико-типового характера. Имею­щиеся по этому поводу концепции и результаты делают правдоподобной гипотезу о такого рода «элимина­ции» понятия метаморфизма.

2.11. Теоремы о гомоморфизмах

1. Для различных разделов математики и отдельных ее дисциплин характерно стремление к получению резуль­татов, заключающих в себе в некотором смысле «полное описание» класса объектов, являющихся основным предме­том изучения в данном разделе. Обычно такие результаты формулируются в виде критериев, дающих необходимые и достаточные условия принадлежности рассматриваемо­му классу объектов. Скажем, известный критерий Коши дает необходимое и достаточное условие принадлежности бесконечной последовательности действительных чисел классу сходящихся последовательностей: последователь­ность сходится (т. е. имеет предел) тогда и только тогда, когда она фундаментальна (или, как говорят, сходится в себе), т. е. когда для произвольного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое зависящее от это­го ε натуральное число N, что разность любых двух чле­нов последовательности, номера которых больше N, по абсолютной величине не превосходит ε.

К сожалению, подобного рода характеристи­чески ε (т. е. дающие необходимые и достаточные усло­вия принадлежности данному классу) признаки носят обычно неконструктивный (неэффективный) ха­рактер: решение вопроса (для конкретной последователь­ности) о сходимости в себе ничуть не легче, вообще гово­ря, исходного вопроса о существовании предела. Да это и понятно: характеристический признак дает по существу просто альтернативное определение рас­сматриваемого понятия, эквивалентное исход­ному, и, представляя собой подчас весьма ценное орудие теоретического исследования, не дает именно в силу своей характеристичности никаких указаний конструктивного характера, более эффективных, чем само исходное опреде­ление. Поэтому при решении практических вопросов о принадлежности или непринадлежности объекта классу пользуются более слабыми признаками: достаточными (выполнение которых зато уже гарантирует принадлеж­ность объекта классу) и необходимыми (невыполнение которых соответственно исключает эту принадлежность).

Однако в алгебраических теориях (в отличие от ана­лиза и теории функций) часто удается находить критерии принадлежности классу рассматриваемых алгебраических систем, которые, будучи характеристическими (т. е. необ­ходимыми и достаточными), в то же время являются в не­котором смысле эффективными — во всяком случае, бо­лее эффективными, чем само определение соответствую­щей алгебраической системы. Дело в том, что алгебраи­ческая система считается определенной, коль скоро она определена «с точностью до изоморфизма». Иными слова­ми, изоморфные системы, рассматриваемые как объекты абстрактной алгебры — и поскольку нас интересуют имен­но свойства систем, а не само по себе изоморфное отобра­жение между ними — с точки зрения алгебры неразли­чимы, в том смысле, что их можно воспринимать как «представления» (т. е. интерпретации, реализации) одной и той же абстрактной («свободной») системы.

Таким образом, в принципе всегда открыта возмож­ность (во всяком случае до тех пор, пока не доказано про­тивное) свести вопрос об изучении какого-либо класса абстрактных алгебраических систем (например, конечных групп) к изучению какого-либо более «простого» в каком-нибудь отношении класса (продолжая выбранный пример, можно указать на класс групп линейных матриц). «Простота» эта может, например, состоять в наглядности и естественности связанных с дан­ными «представлениями» интуитивных образов или, что, конечно, важнее для математика, в разработанности и простоте соответствующего формального аппарата.

Особый интерес представляют собой резуль­таты, в силу которых удается представить в «знакомых» терминах не все гомоморфные образы интересующего нас класса объектов, а лишь изоморфные, получив, таким образом, в некотором смысле «конструктивный эквива­лент» определения такого объекта. Хорошо известным при­мером такой «теоремы о представлении» в узком смысле слова служит теорема М. Стоуна, согласно которой лю­бая (конечная или бесконечная) булева алгебра изоморф­на алгебре всех подмножеств некоторого множества. В более метафорической, но зато более выразительной формулировке результат этот означает, что «по существу» (т. е. с точностью до изоморфизма) никаких других буле­вых алгебр, кроме алгебр подмножеств, «не бывает». Именно этот «онтологический привкус» («. . . не бывает»!) данной формулировки (а не сам по себе упоминаемый ре­зультат, прямого отношения к теме настоящего рассмот­рения не имеющий) и важен для осмысления интересую­щей нас проблематики.

2. В упоминавшихся до сих пор случаях представле­ниями абстрактных алгебраических систем служили в некотором роде «стандартные», «типичные» представите­ли данного класса систем: матричные группы как гомо­морфные образы произвольных конечных групп и булевы алгебры подмножеств как цзоморфные образы произволь­ных булевых алгебр. Но кроме такого рода «общих стан­дартов» для произвольной алгебраической системы (во всяком случае для такой, что для нее определено понятие гомоморфизма; но его-то, как мы знаем (см. выше, п. п. 2.4 и 2.5), действительно можно определить для любого рода совокупностей, в том числе и для таких, для которых «по недосмотру» его и не определили явным образом) имеются, так сказать, «персональные» стандарты: это не что иное, как ее собственные факторсистемы по произ­вольным определенным на ней отношениям эквивалент­ности (или же, если мы хотим иметь дело с «более похо­жими на оригинал» представлениями, по произвольным конгруэнциям). Дело в том, что «по существу» (с точ­ностью до изоморфизма — ср. п. 1) никаких других го­моморфизмов, кроме гомоморфизмов на собственные фак­тормножества, вообще «не бывает»! Подчеркнуто навяз­чивая метафоричность этой формулировки вызвана жела­нием еще раз подчеркнуть тот «онтологический привкус», который явственно ощущается в теоремах о представле­ниях, под каким бы алгебраическим соусом они ни пре­подносились. А раз так, то все гомоморфизмы — это (опять-таки «по существу», т. е. с точностью до изоморфиз­ма) естественные (канонические) гомоморфизмы.

Именно в этом и состоит смысл замечательного (при всей простоте доказательства) утверждения, справедли­вого (при соответствующей формулировке) для любого класса алгебраических систем и известного под именем «теоремы о гомоморфизмах» (или «теоремы о гомоморфиз­ме»). Если сформулировать это предложение для про­извольной универсальной алгебраической системы, то оно будет звучать следующим образом:

Для любого гомоморфизма универсальной алгебраиче­ской системы А в универсальную алгебраическую систему В можно указать такое отношение конгруэнтности ρ на А, что В изоморфна факторалгебре (факторсистеме) A/ρ = [A].

Теоремы о гомоморфизмах можно, как уже отмечалось выше, квалифицировать в качестве «теорем о представле­ниях». Однако смысл этого термина, имея несомненное родство с обоими упомянутыми в п. 1 его значениями, не совпадает в то же время ни с одним из них. С одной сто­роны, речь идет обо всех гомоморфизмах ис­ходной алгебры А, а не только ее изоморфизмах, и в этом отношении смысл термина «представление» совпадает ско­рее с первым («слабым», «нехарактеристическим») из упо­мянутых выше его значений. С другой же стороны, для алгебры В (алгебры-«образа») упоминаемые в формулиров­ке теоремы факторалгебры А/ρ служат как раз изоморф­ными факторалгебрами (т. е. «сильными», «ха­рактеристическими») «представлениями». Но в то время как любое из предыдущих прочтений термина «представ­ление» базировалось на допущении (пусть и неявном) о большей (по сравнению с исходной, «представляемой» алгеброй) «эффективности» («осязаемости», «конкретности» или хотя бы «допустимости» для исследователя) алгебры-«представления», то здесь уже ни о какой «эффективности» представления не может быть и речи. В самом деле, рас­считывать на «уяснение сущности» рассматриваемой ал­гебры только посредством сведения ее к (более простой) факторалгебре не более разумно, чем ожидать, что «Гамлет», переведенный на Basic English, окажется «понятнее» русскому читателю, не знающему ни одного английского слова, нежели оригинальный шекспировский текст.