Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 119 )

На фазовой плоскости (у, ) автоколебаниям соответствует предельный цикл – замкнутая траетория, на которую наматываются все фазовые траетории из некоторой окрестности.

Множество, к которому сходятся фазовые траетории, называется аттрактором.

В рассматриваемом случае аттрактором является окружность радиусом 2.

Точки покоя уравнения (31) =0 и =2. Первый корень неустойчивый:

а второй - устойчивый:

Уравнение (21) принимает вид:

Второе приближение:

Усредненная система: (23), (25), (26)

Уравнение (35) совпадает с (31) при t→∞ →2. При этом следовательно

Второе приближение имеет вид:

где и определяются из (35), (36).

Для стационарного решения получим

где

Подставляя (38) в формулу

и удерживая члены порядка ε, получим второе приближенное стационарное колебательное решение уравнения Ван дер Поля:

На фазовой плоскости траетория второго приближения отклоняется от окружноти на величину порядка ε.

3.12.5. Фракталы и фрактальные структуры

Как мы уже говорили, фрактал – это геометрическая фигура, в которой один и тот же фрагмент повторяется при каждом уменьшении масштаба.

1. Фракталы в математике

В 1883 году Георг Кантор описал множестово, которое теперь называют множеством Кантора. Это множество имеет мощность континуума, но мера его равна нулю. Каждый из фрагментов множества Кантора выглядит, как все множество в целом, т. е оно самоподобно.

В 1886 году Карл Вейерштрасс построил функцию, не имеющую производную ни в одной точке

где 0<A<1. График этой функции – бесконечно изломанная линия. При увеличении любой участок кривой выглядит подобно всей кривой.

В 1904 году Кох построил пример непрерывной кривой, которая нигде не имеет касательной. Можно построить снежинку или остров Коха, если в качестве начального объекта взять равносторонний треугольник, а не единичный отрезок.

Снежинка или остров Коха будут иметь бесконечный периметр, но при этом будут ограничивать конечную область.

В 1915 году Вацлав Сернинский построил ряд конструкций, в частности салфетку Сернинского. Если в качестве начального объекта взять не равнесторонний треугольник, а квадрат, то получим ковер Сернинского. Можно построить трехмерные аналоги этих объектов. Их называют губками.

Рассмотренные объекты называются конструктивными фракталами. Они получаются в результате простой рекурсивной процедуры (комбинации линейных преобразований).

Динамические фракталы. В 1918 году Жюлиа и Фату исследовали свойство отображения

на комплексной плоскости. При фиксированном С в зависимости от выбора начального приближения пределом последовательности будут либо ноль (аттрактор), либо бесконечность (аттрактор). Граница, разделяющая область притяжения этих двух аттракторов бесконечно изрезана и является фракталом – множеств Жюлиа.

С помощью (1) Бенуа Мандельброт прослеживал судьбу финкированной точки z при различных С:

а) последовательность приближалась к нулю (аттрактор),

б) последовательность приближалась к бесконечности (аттрактор),

в) специальный случай: последовательность лежит на границе двух областей притяжения.

Эта граница имеет фрактальную структуру и является странным аттрактором для данного процесса. Фигура, ограниченная данной границей, называется множеством Мандельброта.

2. Размерность самоподобия

Единичный отрезок, N частей длины l= 1=Nl.

Единичный квадрат, N квадратов со стороной

Единичный куб, N кубов со стороной 1=Nl3.

Во всех этих случаях получаем Nld=1, где d – размерность самоподобия.

Чтобы построить множество Кантора нужно взять два множества длины

уже не отрезок, но еще не точка.

Одна салфетка Серпинского состоит из трех салфеток с размером строны

уже не фигура, но еще не отрезок.

Для кривой Коха требуется четыре отрезка длиной

3. Фракталы в природе

Регулярные фракталы: на каждом этапе масштабирования в точности повторяют объект в целом.

Нерегулярные фракталы: на каждом уровне масштаба структура фрактала подобна, но не идентична объекту в целом.

Природные фракталы: деревья, реки, облака, береговая линия.

Человеческий организм: структура дихательной, кровеносной и нервной систем, губчатая структура костей, нейроны (нервные клетки), фрактальные ответвления и складки поверхности кишечника.

4. Моделирование дендритов

Дендриты (древоподобные фракталы): кристаллы, молния, трещины, разломы.

Модель ОДА – ограниченная диффузией агрегация: случайное движение молекул, которые могут слипаться, образуя кластер.

а) Случайная частица движется случайным образом с окружности круга, в центре которого расположена затравка, достигнув которой, частица сливается с ней. В результате получается «дендритный кристалл».

б) Случайная частица движется случайным образом с верхней границы прямоугольника. При достижении боковых границ она упруго отражается, а при достижении нижней границы прилипает. В результате образуются «фрактальные водоросли».

Построение множества Кантора

Построение кривой Коха.

Остров Коха

Остров Коха, ориентированный внутрь труегольника.

Построение салфетки Серпинского.

Множество Жюлиа при С=0,27334+і0,00742

Множество Мандельброта.

а) Дендрит, полученный по методу ОДА.

б) Реальный кристалл в виде дендрита.

«Фрактальные водоросли»

Распределение концентрации X. Два различ­ных типа структур, возможных в одной и той же нели­нейной среде (А = 2, B = 4,6, D1= 1,6∙10-3; D2= 8,0∙10-3) при задании различных начальных данных.

3.12.6. Самоорганизация и образование структур. Синергетика

1. Диссипативные структуры

Рассмотрим распределенные системы, в которых в результате развития неустойчивости в однородной диссипативной среде могут возникать устойчивые пространственно-неоднородные структуры. Такие структуры называются диссипативными. Основы их теории заложил в 1952 году М. Тьюринг, а сам термин предложил .

Общим условием развития процессов самоорганизации (самопроизвольного возникновения волн и труктур) является появление неустойчивости, возникающее, если отклонание от состояния равновесия превышает критическое.

Диссипативная структура поддерживается за счет постоянного притока энергии и вещества – открытые системы.