Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 27 )

Изоморфизмом часто называют также не только отношение с описанными здесь свойствами, но и каждую из взаимно обратных функций (отображений) и

Если, в частности, множества А и А' совпадают, то изоморфизм — идет ли речь о рефлексивном отношении между «двумя экземплярами» одного и того же множества, или же о функции— называют автоморфизмом. Если при автоморфизме множества А на себя каждый элемент этого множества переходит сам в себя, то такой автоморфизм называют тождественным; при рассмотрении группы всех автоморфизмов произвольного множества роль групповой операции умножения в которой, как и во всякой группе преобразований, играет композиция, т. е. последовательное применение двух преобразований, тождественный автоморфизм играет роль единицы этой группы.

2. Пусть теперь в данном выше определении изоморфизма требование взаимной однозначности отображения ослаблено — заменено условием его однозначности лишь в о д н у сторону, т. е. теперь предполагается лишь, что каждому элементу соответствует единственный «образ» единственность же «прообразов» для произвольного

не предполагается. В таком случае (все остальные пунктн определения изоморфизма остаются неизменными) говорят, что А' есть гомоморфный образ множества А (как и выше — относительно данных семейств предикатов) или, что А' находится в отношении гомоморфизма к А. Как термин «изоморфизм», термин «гомоморфизм» употребляют часто и для наименования самой функции (конечно, в данном случае уже именно этой функции, а не «обратной функции» которая, как нетрудно понять, здесь вообще может быть «многозначной»).

Гомоморфизм некоторого множества в себя (относительно каких-либо двух равномощных наборов определенных на нем предикатов) называют эндоморфизмом. (Тождественный автоморфизм является единицей и для полугруппы всех эндоморфизмов произвольной группы.) Эндоморфиз­мами являются, очевидно, все автоморфизмы, а также все изоморфизмы произвольного множества на его подмно­жества, равно как и все гомоморфизмы произвольного множества на себя (т. е. гомоморфные отображения при которых каждый элемент А есть образ не­которого — вообще говоря, не единственного — элемента этого же множества).

3. Перечислим несколько следствий из определений пп. 1 и 2, неоднократно используемых в дальнейшем. Прежде всего, упомянем тот (по существу уже использовавшийся выше) факт, что произведение (т. е. последовательное применение двух преобразований, на­зываемое иначе их композицией, или суперпозицией) двух изоморфизмов есть изоморфизм, а произведение гомомор­физмов — гомоморфизм (и то же относится, в частности, к автоморфизмам и вообще эндоморфизмам).

Далее, отношение гомоморфизма рефлексивно (любое множество гомоморфно самому себе относительно произ­вольной определенной на нем системы предикатов; таким гомоморфизмом является, очевидно, тождественный авто­морфизм) и транзитивно (если и суть гомоморфизмы относительно наборов предикатов в первом случае и во втором, то их произведение есть гомоморфизм относительно наборов предикатов Отношение изоморфизма, сверх того, симметрично (т. е. если есть изоморфизм относительно некоторых набо­ров предикатов, определенных на множествах А и В, то существует и обратное отображение f-1, причем также является изоморфизмом относительно тех же наборов предикатов); для произвольного же гомо­морфизма симметричность, вообще говоря, не имеет места. Можно, наконец, доказать, что если и

суть гомоморфизмы относительно одних и тех же наборов предикатов, то 1) как ψ, так и φ суть изо­морфизмы относительно тех же наборов предикатов и 2) и — автоморфизмы (хотя, вообще говоря, и не тождественные, чему нетрудно при­вести примеры).

Резюмируя сказанное в этом пункте, можно сказать, что гомоморфизмы можно интерпретировать как отношения (частичного) порядка на классах однотипных алгебр, а изоморфизмы — как отношения эквивалентности на таких классах, индуцирующие их разбиения на классы эквивалентных (изоморфных) алгебр, в свою очереди являющиеся элементами факторкласса таких алгебр пo данному отношению эквивалентности (см. ниже), называемыми свободными алгебрами соответствующих типов.

4. В определениях, сформулированных в пп. 1 и 2, наборы предикатов, определен­ных на рассматриваемых множествах, предполагались эквивалентными. Более того, подразумевалось, что эти множества являются однотипными универсальными ал­гебрами, т. е. что между определенными на них набо­рами предикатов (напоминаем, что понятия операции (функции) и константы, по естественным причинам различимые в чисто алгебраических контекстах, мы здесь всюду рассматриваем как частные случаи общего понятия предиката) можно установить такое взаимно­однозначное соответствие, при котором сопоставленные друг другу предикаты непременно имеют одно и то же число аргументных мест.

Последнее ограничение, впрочем, очень уж естествен­но, и мы, по крайней мере пока, не будем и пытаться от него отказываться. Что же касается первого условия (в со­четании со вторым, без которого оно попросту не имеет ясного смысла), то оно означает по существу то,

что соответствующие друг другу предикаты и — это, так сказать, «разные названия одного и того же предиката», обозначаемого различными сим­волами в зависимости от того, из какого множества берутся его аргументы А и А'. Такая характеристика на самом деле может считаться и не метафориче­ской; если множества А и А' не пересекаются, то можно без каких бы то ни было специальных оговорок просто говорить об одном предикате или — безраз­лично), определенном на объединении множеств А и А', понимая эквивалентности и равенства (при избранных нами формулировках — импликации), фигурирующие в определениях понятий изоморфизма и гомоморфизма, как совпадения значений некоторых предикатов для не­которых различных (и притом непересекающихся) наборов их аргументов. В алгебре обычно именно та­кой терминологии и придерживаются; скажем, утвер­ждение об изоморфизме каких-либо групп G и Н подразумевает, что речь идет именно об изоморфизме относительно определенных на G и Н групповых бинарных операций умножения. Т. е. дело обстоит так, как будто каждый из наборов {F} и {Ф} состоит из одного-единственного трехместного предиката; на самом деле в соответствующий набор («сигнатуру») для каждой группы входит еще по одной унарной операции (двуместному предикату) взятия обратного элемента и по одной «нульарной операции» (одноместному предикату) — константе единице; но для изоморфизма групп (относительно обеих сиг­натур) достаточно постулировать изоморфизм относительно ум­ножения. Более того, чаще говорят даже не о двух «различных» операциях умножения, а просто об «одной и той же» операции, не оговаривая специально, что это («одно и то же») умножение определено лишь для таких пар из объединения рассматриваемых групп, для которых оба элемента из каждой нары принадлежат не­пременно одной и той же группе. Наши определения можно, впрочем, сформулировать и таким образом, чтобы надобность в каких бы то ни было «естественно подразумеваемых» соглашениях устранялась с самого начала радикальнейшим образом. Назовем, например, как обычно, декартовым квадратом множества X множество X2 (всех) упо­рядоченных пар элементов этого множества. Тогда бинарную операцию, определенную на X, можно определить как отобра­жение Если теперь рассматривать изоморфизм мно­жеств X и Y относительно двух «одноименных» бинарных опе­раций, одна из которых (f) определена на X, а другая (φ) — на Y (случай одноэлементной сигнатуры взят здесь лишь для простоты изложения), то мы можем вместо этих двух операций говорить об одной (обозначаемой черезили еще как угодно)совпадающей для элементов из X (из Y) с ранее определенной операцией f (соответственно φ). Объединяя таким образом области определения и области значений исходных функций f и φ, мы можем вполне строго говорить об изоморфизме X и Y относительно одной новой опе­рации. Этот достаточно тривиальный пример (настолько триви­альный, что в обычных определениях понятия изоморфизма, его даже не считают нужным приводить, ограничиваясь замечанием о возможности «отождест­вления» операций, относительно которых рассматриваемые мно­жества изоморфны) приведен здесь лишь для того, чтобы показать возможность вполне корректного сведения рассмотрения двух семейств предикатов, относительно которых устанавливается изоморфизм множеств, на которых они заданы, к одной, «общей»