Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 52 )

где

І0- функция Индельфа

Выполнение условий (17) и (15) легко проверяется.

3.2.5. Простейшие задачи для уравнения Шредингера

1. Уравнение Шредингера

= 1,05∙10-27 эрг. с – постоянная Планка,

μ- масса частицы,

U- потенциальная энергия яастицы в силовом поле,

ψ =ψ(x, y, z, t ) – волновая функция.

Если U =U(x, y, z), то возможны стационарные состояния с заданными значениями энергии, т. е. существуют решения вида

где Е – общая энергия частицы.

Подставляя (2) в (1) получаем уравнение Шредингера, в котором Е играет роль собственного значения

В дальнейшем вместо ψ0 будем писать ψ.

В случае отсутствия силового поля (U =0)

Условия нормировки

2. Гармонический осциллятор.

Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора:

где - , ω0 – собственная частота (циклическая) осциллятора.

Задача: определение стационарных состояний, т. е. спектра собственных значений энергии Е и соответствующих собственных функций ψ из уравнения

При дополнительном условии нормировки

Обозначения:

Замена

где

(11)

п – главное квантовое число

3. Ротатор

Уравнение Шредингера для ротатора:

где I=μr2 момент инерции.

Условие нормировки:

Решение задачи (18), (19):

(17), (22)

4. Движение электрона в кулоновом поле.

В атоме водорода электрон находится в кулоновом электростатическом поле ядра (протона). Потенциальная энергия U(x, y, z) равна:

где r – расстояние от электрона до ядра, -е – заряд электрона, +е – заряд ядра.

Уравнение Шредингера:

Условия нормировки

Введем сферическую систему координат с началом в ядре:

Ищем решение в виде:

Введем в качестве единицы длины величину

в качестве единицы энергии – величину

Полагая

Перепишем (29) в виде:

Подстановка:

(31), (32)

Подстановка:

(33), (34)

Положим:

(36), (38)

Умножим (39) на xse–x и обозначим

(39)

п – главное квантовое число, пr - радиальное квантовое число, l - адимутальное квантовое число.

(30), (37), (42)

Квантование значения энергии Еп зависит только от главного квантового числа п.

Положим Е равным энергии кванта:

Тогда

где

- постоянная Ридберга.

Частота излучаемого кванта

Серия Лаймана (п1=1, п=2, 3,…)

Серия Бальмера (п1=2, п=3, 4,…)

Серия Пашена (п1=3, п=4, 5,…)

Построим собственные функции водородного атома:

(43), (34), (32), (37), (42)

Ап определяется из условия нормировки

(48)

(47), (48)