Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 35 )

Так вот, если некоторая концептуальная система со­держит группы понятий, о которых в известном смысле можно говорить, что они «близки» между собой (причем отношение «близости» не обязательно соответствует при­вычным интуитивным представлениям; скажем, латвийский город Валка и эстонский город Валга в некотором смысле «дальше» друг от друга, чем первый от Риги, а второй от Нарвы), то самым естественным «упрощением» такой системы является результат отождествления этих близких понятий, т. е. то, что получится в результате ее факторизации по отношению «близости». Но ведь и исход­ная система может быть представлена как результат не­которой предшествующей идеализирующей абстракции, если, конечно, не иметь в виду тривиальный случай, когда объемом каждого из рассматриваемых понятий слу­жит некоторый единичный (одноэлементный) класс.

То обстоятельство, что точка обычного евклидова пространства не является открытым множеством, так что результат такого «сжатия окрестностей в точки» если и будет топологическим пространством, то уж во всяком случае с другой топологией, не играет ни малейшей роли в интересующем нас случае конечных (хотя и очень обширных) систем «точек»-понятий: ведь каждый их элемент (как и каждая часть) с равным осно­ванием может считаться и открытым, и замкнутым (т. е. дополнением к открытому) множеством. Кроме того, идет ли речь о «склеивании» изображений малых предметов в «точки»— элементы фотографии, или же о «мысленном склеивании» понятий — в любом случае (не считая разве что тривиального отображения многоэлементного мно­жества в одноэлементное) идет речь не столько о переходе окрестностей в точки, сколько одних («мелких») окрест­ностей в другие («крупные»).

Вообще следует сказать, что «топологическая» интерпретация (или, вернее сказать, терминология) не вносит решительно ничего нового по сравнению с обсуждавшейся выше идеей «факторизации». Эта манера выражаться идет от давнишней традиции придерживаться как можно более «наглядных» терминов. Заметим по этому поводу, что «наглядность», подчас выдвигаемая чуть ли не в качестве критерия «релевантности» модельных по­строений, фактически есть что-то вроде привычности, и не более того. Скажем, объяснение термодинамических или электродинамических эффектов в механических терминах кажется школьнику, знакомяще­муся с кинетической теорией газов или представлением о токе как о «потоке электронов», очень «наглядным», «понятным» и все «объясняющим», хотя в сущности меха­низм упругого соударения твердых шариков ничуть не менее загадочен, чем явления, которые он призван объ­яснить. И то же можно сказать о любой системе семантических правил: понятность родного языка есть, конеч­но, его прагматическая характеристика, а отнюдь не некий объективный атрибут.

При фотографировании или изготовлении карт, как и при любом «геометрическом гомоморфизме», нагляд­ность, конечно, налицо; в других случаях (в том числе и в наиболее занимающей нас ситуации «концептуального гомоморфизма») наглядность столь же иллюзорна, как в привычных для математика «зрительных» образах, свя­занных с изложением дескриптивной теории множеств, введением всякого рода «фазовых пространств» или «про­странств рецепторов» в работах по проблеме узнавания. Но эта иллюзорность наглядности отнюдь не обес­ценивает такой манеры разговора, которая подчас ока­зывается очень даже удобной и полезной. Хорошая мина еще вовсе не свидетельствует о плохой игре. Особенно если игрок — ученый.

2.8. Обобщенные гомоморфизмы

1. Для выявления других возможных направлений обобщения понятия гомоморфизма обратимся вновь к у исходному примеру с фотографией. Вспомним, что при введении понятий изоморфизма и гомомор­физма мы рассматривали два множества А и В и их сигна­туры, т. е. множества определенных на А и В предикатов: {FА} и {FВ}. В случае изоморфизма А и В относительно {FА} и {FВ} имеет место взаимно-однозначное соответст­вие как между А и В, так и между {FА} и {FВ}; гомомор­физм же есть однозначное (быть может, много-одно­значное) соответствие между А и В — при сохранении взаимной однозначности соответствия между {FА} и {FВ}. Больше того, элементы наборов {FА} и {FВ} предполагались всякий раз имеющими один и тот же ранг (число аргументных мест и, в случае их неравноправия, способ их заполнения аргументами различных типов. Иными словами, во всех

рассмотренных до сих пор случаях имелось в виду, что А и В — это однотипные алгебры.

Но уже из чисто умозрительных соображений можно было бы задаться целью рассмотреть отображения А в В, при которых и отображение сигнатуры {Fa} в сигнатуру {Fb} также лишь однозначно (не предполагая его обрати­мости или даже предполагая существенную необрати­мость). Не вдаваясь пока в вопрос, насколько существенным с чисто алгебраической точки зрения яви­лось бы такое расширение понятия (мы вернемся к этому вопросу в § 10), приведем пару примеров, показывающих, что возникает оно не только из чисто умозрительных соображений, а естественным с содержательной точ­ки зрения образом.

Наиболее простой случай, с которым нам отчасти уже пришлось столкнуться (см. выше), — это отображение множеств, сигнатура каждого из которых состоит только из одноместных предикатов. В нашей «классической» ситуации с фотографией это случай черно-белого фотографирования многоцветных объек­тов. Черный цвет оригинала изображается черным же цветом на фотографии, так же как и белый — белым; но черным же изображается и достаточно интен­сивный красный цвет, а белым — голубой. Увидев на фотографии женщину в светлом платье, мы можем лишь гадать, какому именно цвету — зеленому, светло-синему или, скажем, песочному — соответствует этот оттенок свет­ло-серого. И то же, конечно, относится (если не пользо­ваться другими, хотя бы и подсознательными, источни­ками информации) к вопросу о подлинном цвете любого изображенного на такой фотографии предмета.

Желая умножить примеры такого сорта, первое, что вспоминаешь,— это, конечно, сумеречное зрение или дальтонизм. И сама очевидность этих аналогий наводит на мысль, что на самом деле рассматриваемый случай не содержит решительно ничего принципиально нового по сравнению со знакомой уже схемой «обычного» гомоморфизма — при совпадении сигнатур: объеди­нение нескольких классов эквивалентности, элементы каждого из которых удовлетворяют какому-либо одному (своему для каждого класса) одноместному предикату, в один класс (элементы которого удовлетворяют опять-таки некоторому одному свойству) есть та самая «факто­ризация», которая оказалась столь удобной универсаль­ной схемой для трактовки «неполных гомоморфизмов». Конечно, само по себе это совсем не удивитель­но: тот факт, что исчисление одноместных предикатов не только изоморфно (во вполне традиционном смысле) ис­числению высказываний, но и является его наиболее естественной «экстенсиональной» интерпретацией (как ис­числение классов), не только хорошо известен, но и имеет ряд важнейших следствий (в первую очередь разрешимость этого исчисления), свидетельствующих о «несуществен­ности» введения в рассмотрение одноместных предикатов (свойств). Таким образом, никакого нетривиального обоб­щения понятия гомоморфизма одним только допущением необратимых отображений сигнатур мы не получим. Правда, с чисто содержательной точки зрения это все-таки не то же самое, что «склеивание» элементов; скорее можно говорить, что отождествление различных одно­местных предикатов есть не что иное, как «дополнитель­ная факторизация», обусловленная объединением соот­ветствующих классов эквивалентности, откуда следует, что действительного обобщения понятия гомомор­физма нечего и ожидать, если к одноместным предикатам в сигнатурах рассматриваемых множеств присоединить в качестве единственных двуместных предикатов отно­шения эквивалентности.

2. Каким же образом несколько многоместных (хотя бы и двуместных, но не являющихся отношениями экви­валентности) предикатов могут при некотором «естест­венно интерпретируемом» отображении перейти в один предикат? (Для определенности мы ниже (до тех пор, пока не будет огово­рено противное) будем предполагать, что все исходные предикаты и предикат, являющийся их общим «образом», имеют один и тот же ранг, т. е. одно и то же число аргументных мест, заме­щаемых аргументами одних и тех же (для каждого места — быть может, своих) типов). Первое, что приходит здесь в голову — это постараться в некотором смысле минимальным обра­зом изменить «запрещенные» ситуации, постараясь из­влечь максимум аналогий с ними. Идя этим путем, мы вместо «самых хороших» двуместных предикатов, т. е. отношений эквивалентности, возьмем предикаты «чуть по­хуже», а именно, отношения частичного порядка: бинар­ные транзитивные и антисимметричные отношения, яв­ляющиеся при этом либо (нестрогий порядок) рефлексив­ными, либо (строгий порядок) антирефлексивными. Наиболее напрашивающиеся приме­ры такого рода — это вариации на тему «упрощения оценок».

Речь идет о следующей часто встречающейся в при­ложениях ситуации. Представьте себе несколько не пе­ресекающихся между собой рядов параметров, внутри каждого из которых введено отношение порядка. Пусть для наглядности, «параметры» наши — это произведения искусства различных жанров, а упорядочение внутри каждого жанра достигается с помощью некоторых чис­то формальных эстетических критериев; скажем, произведения архитектуры оцениваются в зависимости от степени соответствия функциональному назначению, сим­фонии — по количеству баллов в анкете, заполненной ста «лучшими дирижерами мира», а цирковые репризы, не мудрствуя лукаво, построчно. Не размышляя на тему о том, что мог бы значить вопрос о преимуществах данной сонаты над данным сонетом или наоборот, мы можем ввес­ти на объединении всех рассматриваемых предметных областей двуместный предикат «лучше чем», полагая, по определению, «лучшим» опус, оцененный выше по первоначальной «шкале прекрасного».

Поскольку новый предикат вводится на объединении первоначальных предметных областей, речь идет об отображении этого объединения на себя; более того, отображение это — тождественное взаимно-однозначное преобразование. Но оно уже не является автоморфизмом в смысле § 5: вновь определенный преди­кат можно считать «образом» каждого из исходных упорядочений, так что здесь мы имеем дело с однознач­ным, но не взаимно-однозначным соответствием между сигнатурами. Можно было бы рассмотреть и слу­чай, когда не только отображение сигнатур, но и отобра­жение предметных областей однозначно, не будучи взаим­но-однозначным; и именно этот случай было бы естест­венно назвать обобщенным гомоморфизмом, в то время как рассмотренный в предыдущем абзаце — обобщенным изоморфизмом. Не имея, однако, надобности в специаль­ном их различении (подобном тому, что проводилось для «обычных» изоморфизмов и гомоморфизмов в п. 2.5) и за отсутствием закрепленного термина для такого рода отоб­ражений, будем называть их метаморфизмами.