Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 106 )

Следующий пример представляет больший практический интерес. С помощью основных законов механики нетрудно вывести уравнение колебаний маятника, длина которого изменяется по заданному закону. В случае пренеб­режимо малого трения это уравнение имеет вид

(5)

где φ — угол отклонения маятника от вертикали. Рас­смотрим случай, когда длина меняется по гармоническому закону: причем будем считать, что a f малó. Тогда, проводя линеаризацию уравнения (5) по а, b, а затем по φ, получаем

Умножив обе части этого уравнения на и сделав после этого замену т. е.

приходим к уравнению

Вновь проводя линеаризацию по a, b, в результате чего члены заменяется соответственно на получим после деления на уравнение

(6)

где обозначено Это же уравнение (6) служит математической моделью и ряда других процессов. Нас будет интересовать возможность наглядного представления наиболее важных свойств его решений.

Уравнение (6) содержит четыре параметра и, v, w, ω; при каждом их выборе оно имеет двухпараметрическое множество решений (общее решение включает две произ­вольных постоянных), а каждое решение представляет собой функцию τ. Поэтому упомянутое наглядное представление сначала кажется сомнительным. Однако оно возможно.

Прежде всего, число параметров в уравнении можно понизить до двух. Для этого преобразуем

после чего введем обозначения

Тогда уравнение (6) примет стандартный вид уравнения Матье

с двумя безразмерными параметрамиДалее, наиболее важным для практических приложений свойством решений здесь является их устойчивость. А так как при заданных р, ε либо все решения устойчивы, либо все они неустойчивы, то наличие или отсутствие указанного свойства зависит только от значений Это дало возможность Э. Айнсу и М. Стретту с помощью аналитических и вычислительных методов построить в плоскости диаграмму (рис. 1), на которой области, отвечающие не­устойчивым решениям, заштрихо­ваны.

Pис. 1

С помощью этой диаграммы непосредственно выясняется и ус­тойчивость или неустойчивость ну­левого решения уравнения (5) при

Конечно, описанным способом нельзя получить полные сведения о течении колебательного процесса в том или ином конкретном случае, но в большинстве прикладных за­дач это несущественно. Важно, что здесь удалось наглядно представить информацию, наиболее нуж - ную для данного класса задач. Так, мы видим, что при р = 1, т. е.

решение уравнения (5) становится неустойчивым для любых достаточно малых Так как при любом «замороженном» значении l это решение устойчиво, то неустойчивость возникает только из-за пе­риодического изменения «параметра системы» l. Поэтому такое явление называется параметрическим резонансом. Так как при частота свободных колебаний то мы видим, что параметрический резонанс наступает, в частности, при и как угодно малых Этот факт, между прочим, используется при рас­качивании на качелях: для этого следует на протяжении каждого периода колебаний качелей два раза присесть.

Заключая этот пункт о применении ЭВМ к матема­тическим моделям рассматриваемых нами типов, приведем слова : ЭВМ, «освобождая нас от многих... обязанностей, не освобождает во всяком случае от двух: от необходимости владеть математическим аппара - том и творчески мыслить».

3.9. Математическое моделирование нелинейных объектов и процессов

3.9.1. Математические модели процессов нелинейной теплопроводности и горения

1. Краевые задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности

Рассмотрим квазилинейное уравнение теплопроводности:

Параболическое уравнение (1) с коэффициентами к(и), удовлетворяющими условию к(и)=0, называют вырождающимся.

Автомодельными решениями уравнение (1) мы будем называть такие его частные решения специального вида, которые могут быть получены путем интегрирования некоторых специальных дифференциальных уравнений, аргумент искомых функций которых представляет собой комбинацию независимых переменных х и t.

Найдем автомодельное решение уравнения (1) удовлетворяющее условиям

Пусть

Тогда

Задача (4), (5) имеет единственное решение, которое в общем случае находится численно.

Рассмотрим автомодельное решение уравнения (1) типа бегущей волны:

Ищем непрерывное решение (6), обладающее непрерывным «тепловым потоком»

Пусть бегущая волна начала движение по нулевому фону температуры:

Пусть к(и)= к0иσ, к0>0, σ>0, (при σ=5/2 –коэффициент электронной теплопроводности в полностью ионизованной плазме)

где

Функция (12) – обобщенное решение квазилинейного вырождающегося параболического уравнения:

1) функция (12) финитна по х в любой конечный момент времени: существует постоянная А>0 такая, что и(х, t )=0 при х≥А;

2) функция (12) не имеет всюду непрерывных производных, взодящих в уравнение (1): при σ=1 они имеют разрыв 1-го рода, при σ =2 - разрыв 2-го рода на прямой х=Dt.

Замечание. Тепловой поток

Является непрерывной функцией:

Отличительной особенностью вырождающихся уравнений (1) является то, что они могут описывать процессы с конечной скоростью распространения возмущений.

Решения вида (3) и (6) – единственные типы нетривиальных автомодельных решений, которые допускает уравнение (1) рот произвольных коэффициентах к(и). Новые типы автомодельных решений появляются только при специальном виде функции к(и). Рассмотрим задачу:

Автомодельное решение

При т=1/σ решение (17) совпадает с бегущей волной (11). При т≠1/σ задача (18), (19) решается численно.

Можно показать, что при любом т>0 существует такое ξ0(m, σ)>0, что θ(ξ)=0 при ξ>ξ0 и θ(ξ)>0 при 0≤ ξ≤ ξ0 . Решение (17) – тепловая волна, движущаяся по невозмущенному фону температур. Фронт волны xф(t):

ускоряет свое движение и при t →∞ нагревает до бесконечно больших температур всю полупрямую х≥0.