Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 114 )

Система базисных (координатных) функций:

HN – линейная оболочка - базис в HN.

1) при любом N функции линейно независимы; 2) последовательность подпространств { HN } предельно полна в Н; для - оценка погрешности аппроксимации.

Введем также базисные функции

Ищем приближенное решение (1) в виде

где аі, і= 1,2, …,N определяются из системы уравнений

где (u, v) – скалярное произведение в Н и

Разрешимость системы (4) и сходимость иN к и при N→∞ зависит от свойств операторов А, В и выбора

2. Метод Ритца

где

1) Выбирается базис

2) Приблизительное решение ищется в виде (3). 3) Коэффициенты аі находятся из системы уравнений

Вариационная трактовка метода Ритца: рассмотрим квадратичный функционал энергии

Теорема. Для того, чтобы некоторый элемент сообщал минимальное значение функционалу энергии F(u), необходимо и достаточно, тобы этот элемент удовлетворял уравнению (5). Такой элемент единственный.

Вариационная задача: найти функцию иN такую, что

где

(10)(7), (6)

Теорема. Если для любой функции можно построить такую последовательность элементов

что при N→∞, то приближенные решения иN сходятся к точному решению и0 уравнения (5) при N→∞ и имеет место оценка

где С>0 не зависит от и0 и иN.

Доказательство. Пусть - произвольная функция.

Поскольку и0 минимизирует функционал F(v) на , а иN минимизирует F(v) на НN, то

При произвольной функции

В силу произвольного выбора коэффициентов Сі, і=1, 2,…, N в разложении vN, положив vN= получим утверждение теоремы.

Замечание. При рассмотрении классической формулировки метода Ритца решение вариационной задачи может не существовать. Введем в энергетическое скалярное произведение и норму

и положим по энергетической норме. Получим энергетическое пространство НА, порождаемое оператором А. В НА могут появиться предельные элементы не принадлежащие .

Рассмотрим функционал энергии на НА:

и будем искать его минимум на НА. Пусть минимум достигается на и0НА. Если и0, то и0 обобщенное решение (5), если и0 , то и0 классическое решение (5).

Краевые условия, которым удовлетворяют элементы из , называются естественными для оператора А, а краевые условия, которым удовлетворяют как элементы из , так и элементы из НА, называются главными. Базисные функции выбираются из НА.

3. Метод Галеркина

Основной недостаток метода Ритца: он применим только для самосопряженных положительно определенных операторов.

Метод Бубнова-Галеркина.

1) Выбирается базис

2) Приблизительное решение ищется в виде (3). 3) Коэффициенты аі определяются из условия ортогональности невязки к

Замечание. Если коэффициенты аі определяются из условия

где {ψi}H – некоторый базис, то метод называется методом Галеркина – Петрова.

Если

то можно ввести энергетическое пространство НА. Тогда (14)

1) Выбирается базис

2) Приблизительное решение ищется в виде (3). 3) Коэффициенты аі определяются из системы уравнений

4. Обобщенный метод моментов

- оператор А является к-положительно определенным.

1) Выбирается базис

2) Приблизительное решение ищется в виде (3). 3) Коэффициенты аі определяются из системы уравнений:

Замечание. Метод моментов широко используется для решения интегральных уравнений:

Ищем приближенное решение в виде разложения по полной системе функций

Коэффициенты аі определяются из условия ортогональности невязки ко всем функциям

чо приводит к системе:

Замечание. Если система ортогональная, то метод моментов эквивалентен замене ядра на специальное вырожденное ядро: