Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 115 )

5. Метод наименьших квадратов

Пусть оператор в (5) имеет ограниченный обратный А-1.

1) Выбирается базис

2) Приблизительное решение ищется в виде (3). 3) Коэффициенты аі определяются из системы уравнений:

Замечание. Соотношение (25) можно получить из условия минимизации функционала невязки

3.12.3. Метод конечных разностей

1. Основные понятия

Рассмотрим задачу:

где L– линейный дифференциальный оператор,

l- оператор дополнительныз (начальных, граничных) условий

заменяем на - дискретное множество узлов-сетка, заменяем на уh (хп) – сеточные функции (зависят от параметра h),

Пространство Н0 отображается на пространство Нh:

где – линейный оператор из Н0 в Нh.

На линейном пространстве Нh вводятся сеточные нормы ||yh||h- аналоги норм в пространстве Н0.

Условия согласования норм:

норма в пространстве Н0.

Пусть

где - множество внутренних узлов, γh - множество граничных узлов.

Перейдем от дифференциалных операторов к разностным:

Будем говорить, что Lh аппроксимирует L с порядком т>0 в точке х, если

Задаче (1)-(2) ставится в соответствие система алгебраических (разностных) уравнений.

Семейство уравнениий (4), (5), зависящих от параметра h, называются разностной схемой.

Пусть

Так как Lh и lh - линейные операторы, то получаем задачу

где и - погрешности аппроксимации на решении и(х) разностной схемы уравнения (1) и дополнительного условия (2).

Схема (4)-(5):

а) аппроксимирует задачу (1)-(2) и имеет т-й порядок аппроксимации, если

б) сходится и имеет т-й порядок точности, если

Схема (4)-(5) корректна (разностная задача поставлена корректно), если при всех достаточно малых |h|≤h0:

а) разностная задача однозначно разрешима при любых входных двнных и

б) решение уh равномерно по h непрерывно зависи от входных данных (свойство устойчивости).

Если Lh и lh– линейные операторы, то при |h|≤h0

где М1 >0, М2>0 - постоянные, не зависящие от h и выбора входных двнных .

Если схема (4)-(5) устойчива, а zh – решение задачи (6), (7), то 10)

Из неравенства (11) следует утверждение:

Если линейная схема (4)-(5) устойчива и аппроксимирует задачу (1)-(2), то она сходитмся (из устойчивости и аппроксимации линейной схемы следует ее сходимость).

Порядок точности схемы (4)-(5) определяется порядком аппроксимации.

2. Разностная задача для уравнения теплопроводности на отрезке

Разностная аппроксимация оператором

Введем равномерные сетки:

Назовем шаблоном множество узлов, на котором записывается оператор.

Подставляя (20) в (17), (18), получим

При σ=0,5 («симметричная схема»

где ψ – погрешность аппроксимации оператора L соответствующим разностным оператором Lhτ.

Добавляя разностному уравнению разностные начальные и граничные условия, аппроксимирующие условия (19) и (14), получим разностную начально-краевую задачу (схему):

где

Схема (24)-(26) аппроксимирует задачу (12)-(14) с порядком при σ=0, σ=1 и при σ=0,5.

Схема называется явной, если σ=0. При σ≠0 схема называется неявной (при σ=1- чисто неявной).

Явная схема (σ=0):

Чисто неявная схема (σ=1):

Теорема. Для устойчивости разностной схемы (24)-(26) достаточно, чтобы существовали такие не зависящие от h и τ постоянные С1≥0 и С2≥0, при которых имеет место оценка

Замечание. В (29) введены нормы:

равномерная (чебышевская):

на s–м слое:

Доказательство.

Так как

при т≤М, то полягая

Рассмотрим устойчивость чисто неявной схемы (σ=1).

Рассмотрим устойчивость явной схемы (σ=0).

Пусть γ<. Тогда 1-2 γ>0 и получим

Пусть

– ошибка на s–м слое.