Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 102 )

Из второго уравнения мы видим, что луч, идущий из начала координат через движущуюся точку равномерно вращается с угловой скоростью 1. Первое же уравнение показывает, что при (соответственно, возрастает (убывает) и при стремится к 1. Кроме того, система имеет неустойчивую точку покоя и цикл Соответствующий фазовый портрет показан на

рис. 2: траектории типа 1 «скручиваются» с точки покоя и накручиваются на цикл 3 изнутри, тогда как траектории типа 2 «скручиваются с бесконечности» и накручиваются на тот же цикл извне.

Рис. 2

Такой цикл, служащий пределом для незамкнутых траекторий, называется предельным циклом. В данном примере предельный цикл устойчивый — в том смысле, что траектории, проходящие через все близкие к нему точки, при стремятся к этому циклу.

Устойчивый предельный цикл описывает автоколебания изучаемой системы. Это периодический самоподдержива­ющийся процесс, который при любых достаточно малых возмущениях вновь восстанавли­вается по прошествии некоторого переходного этапа. Такой процесс возможен только в нелинейной си­стеме, способной к обмену энер­гией в обоих направлениях с внешними объектами. Автоколе­бания весьма распространены в природе и технике, от «шума мо­ря» в раковине до флаттера крыль­ев самолета.

Понятие фазового портрета си­стемы (1) при любом п вводится аналогично, однако здесь фазовое пространство п-мерно и его «точками» служат наборы чисел такое пространство обозначают (сравните с п. 5 Дополнения). Векторная запись системы (1) имеет тот же вид (3), где r — радиус-вектор в поэтому и истолкования системы уравнений как поля скоростей, а решения — как закона движения точки сохраняются. Сохра­няется и представление о расслоении фазового пространства на траектории трех типов, хотя теперь фозовый портрет системы может оказаться существенно более сложным, чем при п = 2.

3.8.8. Обобщенные решения

Если математическая модель сведена к задаче о решении некоторого уравнения, то мы обычно, формулируя это явно или нет, представляем себе, в каком классе математических объектов должно содержаться искомое решение. Например, если ищется число элементов некоторого множества (скажем, число присутствующих лю­дей), то решение должно быть целым неотрицательным числом; если ищется закон изменения тока в цепи, то решение после перехода к безразмерным величинам должно быть вещественной функцией вещественной переменной и т. п. Решив уравнение, мы проверяем, действительно ли найденное решение попало в требуемый класс объектов; если не попало, то такое решение чаще всего отбрасывается как не удовлетворяющее смыслу задачи.

Однако не так уж редко бывает, что решение, не попав­шее в заранее установленный класс, может оказаться полез­ным и даже имеющим реальный смысл, хотя порой и не совсем тот, который первоначально подразумевался. Такие решения задачи естественно считать обобщенными и воз­можность их появления надо иметь в виду, анализируя, действительно ли полученное решение является полностью бессмысленным.

Так, широко известен пример неправильного ответа «два землекопа и две трети» к школьной задаче из стихотворения . Автор интерпретирует эти 2/3 как человека «без ног, без головы», и действительно при такой интерпре­тации ответ грубо ошибочен. Но может быть (условие задачи не приведено), речь шла о числе землекопов, необходимом для выполнения определенной работы за рабочий дечь? Тогда смысл решения, которое является обобщенным, со­стоит в том, что третий землекоп должен работать лишь 2/3 рабочего дня.

Формулу (11п.3.8.3) можно считать определяющей обобщен­ное решение уравнения (7 п.3.8.3). В самом деле, мы искали решение в виде суммы ряда, но построенный ряд оказался расходящимся при всех t, т. е. не имеющим суммы. Конечно, можно было бы сказать, что полученное решение неприемле­мо и этим ограничиться. Но мы видели, что хотя формула (11п.3.8.3) и не дает решение в обычном смысле, но ее можно применить как для получения асимптотических формул, так и для приближенного вычисления значений «истинных» решений. В этом смысле можно в данном случае говорить об обобщенном решении.

Важный пример обобщенных решений составляют ком­плексные решения линейных автономных дифференциаль­ных уравнений с вещественными коэффициентами в случа­ях, когда по постановке задачи эти решения должны быть вещественными. Применение комплексных решений в тео­рии колебаний и ее разнообразных приложениях к механике, электротехнике и т. д. столь распространено, что такие решения воспринимаются как вполне естественные — хотя, конечно, истинные значения колеблющихся физи­ческих величин вещественны.

Причины этой распространенности чисто формальные, они связаны с уникальной простотой формулы для производной показательной функции:

Это дает возможность весьма просто вычислять линейные дифференциальные выражения от такой функции, на­пример,

(1)

Аналогичные формулы имеют место при интегрировании экспоненты и при решении дифференциальных уравнений упомянутого выше типа с экспонентой в правой части. С другой стороны, при вычислении линейного дифференциаль­ного выражения L с вещественными коэффициентами от комплексной функции, действия над ее вещественной и мнимой частями производятся независимо друг от друга:

то есть

где подпонимается вещественная (мнимая) часть.

Например,

(если а, b, с вещественны), а правую часть уже можно вычислять с помощью формулы (1). Аналогичные правила справедливы при решении дифференциальных уравнений. Это дает возможность при решении таких уравнений и их систем заменять исходные гармонические и затухающие гармонические зависимости на экспоненты с комплексным показателем, а получив решение задачи, взять его вещест­венную часть в качестве окончательного ответа.

Рассмотрим в качестве простого примера электрическую цепь, показанную на рис. 1, и пусть нас интересуют токи установившиеся в цепи после переходного этапа.

Рис.1

Уравнения для токов сразу следуют из теории электрических цепей:

причем постоянная в интеграле выбирается так, чтобы он имел нулевое среднее значение. Согласно сказанному выше заменим заданную функцию на для которой первая является мнимой частью; тогда уравнения для соот­ветствующих «комплексных то­ков» примут вид

(2)

Будем искать установившиеся токи в виде Подстановка этих выра­жений в (2) после сокращения на приводит к урав­нениям

Отсюда легко найти

и искомые токи

(3)

С помощью формулы Эйлера для нетрудно выразить в «полностью вещественной» форме, через и Однако в ряде отношений формулы (3) удобнее: например, мы сразу получаем, что амплитуда тока равна

и т. д. Поэтому ответ обычно предпочитают оставлять в форме (3) либо в форме комплексного обобщенного ре­шения.

Еще один тип обобщенных решений возникает из-за отсутствия у построенного решения тех производных, кото­рые предполагались при выводе уравнения,— как говорят, из-за недостаточной гладкости решения. Рассмотрим, на­пример, одномерное волновое уравнение (1 п.3.8.6) и его общее решение в виде суммы прямой и обратной волн (3 п.3.8.6); здесь— произвольные функции одного аргумента. При выводе уравнения (1 п.3.8.6) предполагалось, что функция имеет производные второго порядка, так что, казалось бы, от функцийтакже надо требовать наличие