Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 43 )

Практическое выполнение всей этой про­граммы — дело будущего. Теперешняя же ее стадия, как видно из предыдущего изложения, это не более чем ста­дия эвристических соображений.

2.16. О пределах применимости концепции

В этом параграфе будет представлен как можно пол­ный обзор различных точек зрения, обнаруживающих огра­ниченность концепции, согласно которой процесс и результаты познания могут быть описаны в терминах го­моморфизмов (быть может, обобщенных), и очертить гра­ницы ее применимости.

1. Первый и очевидный пункт возможных возражений против обрисованной концепции уже указанв п.2.12: концепция эта не то что игнорирует недедуктив­ные аспекты познания, а скорее, не претендует на их рассмотрение. Итак, в настоящем своем виде предлагаемая кон­цепция сознательно оставляет в стороне индуктивный и диалектический аспекты теории познания, сосредоточи­ваясь исключительно на рассмотрении формально-де­дуктивных проблем. Впрочем, об этом уже неоднократ­но говорилось выше.

2. Представление, согласно которому любая модель (описание или концептуальная система описания) некото­рого фрагмента Мира есть его гомоморфный образ (если даже гомоморфизм частичный) в свою очередь, очевидно, исходит из представления о Мире как об «алгебраической сиетеме». Такое предположение, конечно, было бы на­столько далеко идущей идеализацией, что принятие ее почти полностью обесценило бы любую существенно зависящую от него концепцию.

Положение, к счастью, радикальным образом меняет­ся, как только мы замечаем, что любой обозреваемый фрагмент реальной действительности можно (и практи­чески без каких бы то ни было принципиальных ограниче­ний) представлять в качестве частичной алгебраической системы, т. е. множества объектов, на подмножествах ко­торого определены некоторые операции и отношения (пре­дикаты). Для таких частичных систем ничего не стоит ввести понятие гомоморфизма, причем для обобщен­ного таким образом гомоморфизма аналог теоремы о го­моморфизмах также будет справедлив.

Для интересующих нас целей часто бывает удобнее вместо одной «большой» частичной системы рас­сматривать теоретико-множественное объединение не­скольких «малых», на каждой из которых могут быть оп­ределены свои наборы предикатов. Тогда «гомоморфиз­мом» такого объединения аистем естественно называть его отображение на объединение областей значений каждого из данных гомоморфизмов, подчиненное естественным ус­ловиям «согласованности» (аналогичным условию возможности задания одной функции несколькими аналитическими выражениями).

3. Однако, вводя все эти дополнительные соглаше­ния и ухищрения, мы не избавляем себя от неловкого чувства — ведь дело тут не только в неполной определенности некоторых «природных» предикатов. Есть две претензии похуже. Первая из них связана с фактором времени. Ведь «сигнатуры» частей Мира все время меня­ются, так что его скорее уж следовало бы уподобить не алгебраической системе, а конечному (но с очень большим числом состояний) автомату. Правда, для автоматов сами по себе понятия изоморфизма и гомоморфизма вводятся со­вершенно естественным образом; однако перевод свя­занных с ними дальнейших рассуждений на «автоматный язык» отнюдь не автоматичен.

4. Второй, и, пожалуй, значительно более глубокий, источник неудовлетворенности, которую вызывает изла­гаемая концепция, связан, если можно так выра­зиться, с самой природой понятий изоморфизма и гомо­морфизма, причем ссылки на то, что мы заранее ограни­чиваем область приложимости связанных с ними представ­лений к проблемам теории познания, подобные тем, что неоднократно делались выше (и только что в п. 1), здесь не только не снимают проблемы, но даже, можно сказать, усугубляют ее: до сих пор речь шла о том, что концепция слишком скромна, сейчас же — о том, что она тем не менее слишком много на себя берет.

Соображения эти основываются на одной очень прос­той, но тем более важной идее, впервые в явном виде вы­сказанной в работах . Идея эта исходит прежде всего из констатации того обстоятельства, что все традиционные представле­ния о «моделировании» (а следовательно,— добавим,— и о познании) так или иначе исходят из представления, со­гласно которому «идеальная модель» должна была бы быть изоморфным образом отображаемого ею фрагмента реаль­ной действительности. Поскольку, однако, идеал трудно достижим (если достижим вообще), то мы (постоянно пом­ня о его «наличии») довольствуемся моделями гомоморф­ными. Уже этот «оппортунизм» знаменовал собой чрезвы­чайно важный шаг в понимании возможностей естественно­научного исследования; по существу ведь это был переход от чисто детерминистских моделей типа классической ньютоновской динамики к моделям статистическим, ве­роятностным, стохастическим (в первую очередь в тер­модинамике).

Но и «динамические», и «термодинамические» модели, при всем их различии, в равной степени строились имен­но как модели «физические»; этот трюизм оправдан, ко­нечно, лишь тем первозданным смыслом, который при­дается в нем последнему эпитету: физика, как известно, есть наука о природе, а физические теории суть изобра­жения этой самой природы. Классические теории — ее изоморфные образы («контактные снимки», изображаю­щие поведение каждого «фотографируемого» тела), ста­тистические теории — гомоморфные образы (точки на этих «фотографиях» служат изображениями коллекти­вов частиц, индивидуальные же различия внутри коллек­тива игнорируются). Но и в том, и в другом случае иссле­дователь, разглядывающий такой снимок, время от вре­мени закрывает глаза, чтобы лучше представить себе ту «подлинную» реальность, изоморфным (или гомоморфным) образом которой этот снимок является.

Исследователь оказывается в роли человека, держаще­го в руках пластинку с данными рентгеноструктурного ис­следования изучаемого им вещества. Конечно, он может и «рассматривать» свою рентгенограмму, но само по себе это «рассматривание» (если не принимать, конечно, во внимание другие возможные — пусть даже бессознательно учитываемые — источники информации) способно по­мочь ему воссоздать подлинную картину расположения атомов в кристаллической решетке не в большей степени чем рассматривание грампластинки — прочувствовать индивидуальность дирижера. Но всех исследователей интересует иная «реальность», и именно на ней мы сосредоточиваем все наше внимание: специалист по структурной химии считает свою задачу выполненной, по­лучив структурную формулу (весьма отдаленно «похожую» на «реальный» кристалл), выпускнику факультета эконо­мической кибернетики мало дела до «реального» заводско­го пейзажа, когда он отрабатывает оптимальный техноло­гический режим, неумение читать партитуры не мешает многим из нас слушать Моцарта.

Примеры, конечно, достаточно произвольны, да и структура их не идентична (не изоморфна): «первичные» и «вторичные» «реальности» выполняют различные функ­ции. Но всех упомянутых персонажей объединяет нескры­ваемое равнодушие к «подлинной реальности» (куску минерала, цеху номер такой-то, партитуре), коль скоро «не­знание» ее не мешает нам решать свои задачи.

Можно, правда, заметить, что никому из названных здесь лиц не придет в голову отрицать ни существование «внутренних обстояний», «представлениями» которых мы интересуемся, ни «изначальной» (так сказать, для внеш­него наблюдателя) первичности первых, ни, наконец, го­моморфизма (если не изоморфизма) вторых первым. Но, не будучи солипсистами, не будем торопиться втискивать в свою, «гомоморфную» схему любые проявления деятель­ности, естественно квалифицируемой как «моделирова­ние». Тем более, что в ряде совсем серьезных и реальных ситуаций претензии на изоморфизм (или хотя бы гомомор­физм) «моделей» «оригиналам» выглядели бы фикциями довольно-таки платонистского сорта. И единственное об­стоятельство, на которое хотелось бы обратить здесь вни­мание, состоит в том, что ставшая уже почти традицион­ной схема «математизации знания» (с которой, надо сказать, предшествующее изложение в конфликт не всту­пало): «разберись в основных сущностях, затем составь подходящую концептуальную схему и уж затем присту­пай к ее аккуратному расписыванию, т. е. к собственно мо­делированию»— отнюдь не универсальна и не обязатель­на. В ряде важных, трудных и даже в известном смысле характерных для научной практики ситуа­ций исследователь (причем совсем хороший исследова­тель — как будет видно из дальнейшего, прямо-таки пер­воклассный математик и физик), будучи в здравом уме и полной памяти и даже владея некоторыми «алгоритмами изоморфного моделирования», предпочитает тем не ме­нее «не зная броду, соваться в воду». И весьма небезус­пешно.

Рассмотрим следующий пример, заимствованный у . Как известно, широкий класс задач, которые можно характеризовать как «задачи на оп­тимизацию» (источник которых лежит, как правило, не внутри самой математики, а в ее выходах в физику, тех­нологию, экономику, физиологию, метеорологию и др.), может решаться, в результате довольно очевидных по идее редукций, в терминах «поиска (относительных) экстремумов (для определенности, например, минимумов) функций многих действительных переменных». Не менее известен и исчерпывающий (т. е. дающий на выходе опи­сание, изоморфное моделируемой ситуации) теоретиче­ский алгоритм решения подобных задач, состоящий в при­равнивании нулю частных производных данной функции по каждому из ее аргументов и последующем (численном) решении полученной системы п линейных дифференциаль­ных уравнений первого порядка с данными начальными условиями. Казалось бы, все прекрасно (а для настоящего математика задача ввиду своей принципиальной три­виальности становится даже абсолютно неинтересной), если бы не одно (столь же общеизвестное, как и все пре­дыдущее в этом примере) досадное обстоятельство: при большом количестве переменных (а в задачах из области экономики или, например, метеорологии их сотни) объем требующихся вычислений требует непомерно большого машинного времени даже для самых быстродействующих электронно-вычислительных машин, причем в ряде важ­ных случаев (скажем, в той же метеорологии) замена по­следовательного счета параллельным принципиально нео­существима. Как говорится, «погоду на завтра рассчитать можно, но для этого нужен месяц». И все возвращается на круги своя. А что делать теперь физику (или физиологу, ин­женеру, синоптику, экономисту и т. д.)? Естественно, при­ходится снова обращаться к математику (или переквали­фицироваться самому — проблемы остаются те же). А что делает математик? Тут, надо признать, многое зависит от индивидуальной психологии. Совсем хороший («чис­тый») математик ввиду уже упомянутой неинтересности задачи переключает свое внимание, например, на теорию чисел. Но находятся и такие математики (явно менее «чис­тые»), что продолжают интересоваться задачей, но уже не как собственно математики (они даже не пытаются искать лучший теоретический алгоритм — да и то сказать, что уж может быть лучше дифференцирования?!), а, так ска­зать, «чисто по-человечески». И, проникаясь психологией даже не физика (тот ведь тоже не привык без «концепту­альной схемы»), а инженера, начинают экспе­риментировать, говоря попросту, пробовать. История и теория уже довольно многочисленных методов экспериментального поиска ми­нимумов функций многих переменных демонстрируют нам большое разнообразие способов поиска как «слепых» («случайных»), так и систематических. Методы организации поиска в свою очередь основываются на нескольких основных прин­ципах, среди которых важное место занимают вариации прежнего теоретического метода (все они так или иначе основаны на опытном определении градиента в испытуемой точке многомерной поверхности, т. е. направления «наискорейшего спуска»), а кроме того в каком-то виде варьируется идея «обучения» («запоминания» результа­тов предыдущего поиска), например, принцип гомеостата.