Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 110 )

Контроль характера зависимости решения от пара­метров задачи. Здесь речь идет о проверке направления, а иногда и скорости изменения найденной величины при из­менении параметров задачи: эти направления, вытекающие из выведенных соотношений, должны быть такими, как следует непосредственно из смысла задачи. Так, из формулы (1 п.3.10.2) мы видим, что m пропорционально δ и ρ и растет с ростом b; но все это становится сразу ясным, если чет­ко представить ситуацию. Указанный контроль также же­лательно по возможности проводить и в промежуточных формулах.

Контроль экстремальных ситуаций. Всегда оказывает­ся чрезвычайно полезным проследить за тем, какой вид принимают как исходные, так и промежуточные и оконча­тельные соотношения, а также выводы из исследования модели, если ее параметры приближаются к крайним до­пустимым для них значениям — чаще всего к нулю или к бесконечности. В таких экстремальных ситуациях задача часго упрощается или вырождается, так что соотношения приобретают более наглядный смысл и могут быть провере­ны — если, как это часто бывает, соответствующие им решения можно получить независимо от анализа общего случая или если они заранее известны.

Так, в последней задаче п. 3.10.2 при стремлении а, δ или ρ к нулю объект вырождается и масса обращается в нуль; то же вытекает из формулы (1 п. 3.10.2), что служит ее подтверж­дением. Вырождение происходит и если а фиксировано, а либо если b фиксировано, а (почему?); это же следует из (1 п. 3.10.2). Если одна из величин стремится к бесконечности, а остальные, как и а, фиксированы, то и это вытекает как из смысла задачи, так и из фор­мулы (1 п. 3.10.2).

В качестве другого примера рассмотрим случай. При решении задачи п. 2 § 1 сначала вместо (2.2) была выведена (как оказалось, ошибочно) формула

(1)

Для контроля решено было провести анализ экстремальных ситуаций. Пусть сначала т2→0, тогда как остальные параметры не меняются. Тогда по смыслу задачи (продумайте это!); это же вытекает из (1) (так какв данных условиях), так что результаты согласуются. Но рассмотрим другую ситуацию: пусть а прочие параметры не меняются. Тогда по смыслу задачи должно получиться однако в новых условиях имееми потому из (1) следует, что Так была обнаружена ошибочность формулы (1).

Контроль математической замкнутости состоит в проверке того, что выписанные математические соотно­шения дают возможность решить поставленную математиче­скую задачу, т. е. что математическая модель полна. Так, если задача свелась к отысканию неизвестных величин с помощью решения системы конечных уравнений, которые должны удовлетворяться точно, то надо проверить, что этих уравнений — во всяком случае, независимых — столько же, сколько неизвестных. Если задача свелась к отысканию конкретного решения дифференциального урав­нения, то надо проверить, что поставлены также добавоч­ные (начальные, граничные) условия, определяющие это решение. (В таком случае после получения решения жела­тельно еще проверить, что поставленные добавочные ус­ловия учтены и что построенная функция действительно им удовлетворяет.)

Упомянем еще о таком способе проверки правильности окончательного или промежуточного результата: если слож­ным, обходным путем получена простая формула, то пытаются найти более прямой путь ее вывода, что дает возмож­ность не только подтвердить ее справедливость, но и глубже ее понять. В качестве простого примера выведем форму­лу для производной по направлению от скалярного поля

где х, у, z — декартовы координаты в пространстве. Вычисления дают (проверьте!):

здесь точкой обозначено скалярное произведение, а но­ликом — единичный вектор. Однако скалярное произве­дение единичных векторов равно косинусу угла между нами, т. е. мы получаем формулу

Ее простота подсказывает, что должен быть ее непосредст­венный вывод. И действительно, этот вывод сразу получается из рассмотрения рис. 1 (АВ — дуга окружности с центром в О, отрезок АС перпендикуля­рен к r), так как при бесконечно малом ∆l величины |МВ| и |МС| эквивалентны, а потому

Рис. 1

3.10.4. Роль примеров

Для успешного исследования мате­матической модели, избежания ошибок особенно велика роль правильной интуиции, ориентировки в рассматривае­мом круге вопросов. А для этого, в свою очередь, весьма полезным оказывается подробный разбор примеров, частных случаев, элементов модели. С помощью таких примеров можно выбирать и отрабатывать методы исследования мате­матической модели, формулировать и проверять те или иные гипотезы. Каждый пример служит как бы моделью интере­сующей нас более общей или более сложной модели, он выявляет некоторые свойства последней и способствует их пониманию. Существенно, что примеры часто удается иссле­довать значительно детальнее и с более высокой достоверно­стью, чем общую модель. (Впрочем, при переносе свойств примера на более общий класс объектов надо всегда иметь в виду, что некоторые из этих свойств могут проистекать именно из специфики данного примера.)

Особенно велика роль примеров при опровержении не­правильных гипотез: утверждение «все лебеди белые» опровергается предъявлением хотя бы одного чер­ного лебедя.

Приведем некоторые «примеры примеров». Легко про­верить, что если линейное однородное автономное диффе­ренциальное уравнение содержит производные только чет­ного порядка и имеет хотя бы один кратный характерис­тический корень λ, то в фундаментальную систему решений этого уравнения входят функции а так как по

крайней мере одна из них безгранично возрастает по модулю при t →∞, то такое уравнение неустойчиво. Исходя из этого, Лагранж, а за ним и Лаплас утверждали, что и линейная автономная механическая система, в которой силы трения пренебрежимо малы, в случае кратных характеристических корней из-за появления таких слагаемых всегда оказывается неустойчивой. На математическом языке это означает, что система уравнений вида

с постоянными коэффициентами при наличии кратного кор­ня обязательно неустойчива. То, что это не всегда так, сразу видно, если в качестве взять единичную матрицу. Такой вид при п = 2 имеет после перехода к безразмерным координатам линеаризованная система уравнений колеба­ний маятника, имеющего две степени свободы, около ниж­него положения равновесия — очевидно, устойчивого. Эта знаменитая в истории механики ошибка Лагранжа полу­чилась, как считают историки, из-за того, что ему вообще не было свойственно сопровождать общие рассуждения при­мерами.

Рассмотрим еще вопрос о влиянии рассогласования меж­ду начальными и граничными условиями на решение урав­нения с частными производными. Пусть, например, рас­сматривается некоторый процесс, происходящий в полубесконечном стержне, начиная с момента t = 0. Тогда при t = 0 ставится начальное условие, а при х= 0 — граничное условие. Таким образом, при оказываются поставленными и то и другое условия. Если они противоречат одно другому, то говорят об их рассогласо­вании. Как такое рассогласование сказывается на решении задачи? (Строго говоря, тут надо говорить об обобщенном решении.)

Оказывается, что ответ существенно зависит от так на­зываемого типа уравнения, что легко продемонстрировать на примерах. Простейшим представителем уравнений «ги­перболического» типа, описывающих процессы, распрост­раняющиеся с конечной скоростью, является уравнение (1 п.3.8.6). Пусть начальные и граничное условия имеют, соот­ветственно, вид

причем функция и0 непрерывна. Тогда, исходя из формулы (3 п.3.8.6) для общего решения, можно получить явное выра­жение для решения

(1)

Но что происходит при когда формулы сменяются?

Если т. е. х приближается к at со стороны бóльших значений, то в силу второй формулы (1) имеем