Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 31 )

Но полученный гомоморфизм относительно упорядоче­ний оказывается автоматически и гомоморфизмом отно­сительно эквивалентностей: не только «большим» городам соответствуют «не меньшие» кружки, но эквивалентные в исходной области элементы переходят в эквивалентные (в смысле, определенном для результирующего множества) образы. Таким образом, коль скоро мы ограничиваемся рассмотрением двуместных предикатов, определенных на исходных множествах и их «упрощенных» образах («кар­тах»), такого рода «упрощения» самым простым и естест­венным образом укладываются в схему «гомоморфного отображения». Прежде чем перейти к анализу неизбежного в связи с подобными преобразованиями концептуальных схем вопроса о соответствии между одноместными пре­дикатами, определенных на исходных и преобразованных множествах, отметим, что возникшая в ходе настоящих рассмотрений концепция «отображения, продолжаемого до гомоморфизма» допускает еще по крайней мере две не зависящие (во всяком случае непосредственно) от этих рас­смотрений трактовки, которые можно условно охаракте­ризовать как «алгебраическую» и «топологическую».

Заметим прежде всего, что соответствие между «пол­ной» и «упрощенной» картами, пополненными указанным выше образом «фиктивными» («белыми») элементами, явля­ется гомоморфизмом (как по отношениям порядка, так и по отношениям эквивалентности) отнюдь не только как отображение этих «несобственных» элементов. Если, ска­жем, для простоты рассмотрений интересоваться только количеством жителей в изображаемых на карте городах, то упрощенная карта может отличаться от ис­ходной не только отсутствием ряда кружков, изображаю­щих малые города; на ней, например, вместо употребляе­мых ранее четырех различных родов обозначений может остаться, допустим, всего два: «большие» (более миллиона жителей) и «малые» (до миллиона). Кроме того, если общее число черных кружков на упрощенной карте меньше числа черных кружков (всех видов) на исходной карте, то по крайней мере на одной из них (а именно, на упрощенной) «подразумевается» наличие «белых кружков» в количест­ве, нужном для (взаимной) однозначности соответствия между элементами (как черными, так и «белыми») обеих карт. (Характеристики типа «до миллиона» не слишком однозначны; но претензии на точное указание нижней границы численности населения «заслуживающих упоминания» городов все равно неосуществимы. Неиз­бежный произвол в «обозначении» близких по численности городов малыми черными и «белыми» кружками весьма удобен, свидетельствуя, в частности, о гибкости («мягкости») языка, которым пользуются люди (в том числе и философы) в отличие от машин.

Наконец (с учетом только что сделанных оговорок), можно допустить, что на упро­щенную карту, как правило, наносятся города, имеющие не менее 50 000 жителей, в то время как для исходной карты эта (приблизительная) граница была бы около 5—7 тысяч, и уж на второй карте не появилось ни одного нового (черного) кружка. Варьируя разумным образом соглашения, отно­сящиеся к упоминавшимся только что нижним границам численности отмечаемых на карте городов (так сказать, к ее разрешающей силе), легко получить отображение, переводящее первую карту во вторую, прямоугольники — в большие черные кружки, черные сплошные кружки с точками — в малые кружки, а светлые кружки (и фиктивные «белые») — в «белые». Изменив «границу» между понятиями «большого» и «малого» горо­да с миллиона на сто тысяч населения, мы получим другой вариант карты, на котором в большие кружки будут переходить уже и прямоугольники, и сплошные кружки, и все остальные явно изображаемые на карте города будут изображаться малыми кружками, и т. п. Вариаций тут может быть много, но во всех случаях сохраняе­тся гомоморфный характер отображения: эквивалентные пары элементов переходят в эквивалентные, а упорядочен­ные — в упорядоченные (причем, больший член пары, — в больший) или эквивалентные.

Под эту схему не подпадает случай, когда в упрощенной карте появляется новая, по сравнению с исходной, «граница»; например, вместо прежних четырех «границ» 10 000—50 000 — 100 000—1 000 000 появляют­ся две: 10 000 и 500 000. В таких случаях умес­тен прием, напоминающий уже рассматривавшееся выше «пополнение»: от исходной карты мы переходим, вводя новую границу 500 000, к более «дробной», гомоморфным образом которой служит исходная, а затем уже с помощью другого гомоморфизма к упрощенной, в числе границ которой имеется 500 000. Подробнее такого рода «под­разбиения» и «укрупнения» всякого рода «карт» мы обсу­дим в следующем параграфе.

2.7. Факторизация

1. Принципиально иной подход к трактовке процесса «выкидывания несущественных деталей» как гомоморф­ного преобразования исходной «сложной системы» связан с чисто алгебраической идеей «факторизации» исходного множества. Напомним, что каждое отношение эквивалент­ности индуцирует на множестве, на котором оно опреде­лено, разбиение на классы эквивалент­ности (элементы, эквивалентные в смысле данного отно­шения, составляют один класс эквивалентности). По­скольку каждый класс эквивалентности определяется (порождается) любым из своих членов, множество клас­сов эквивалентности есть множество различ­ных «типов эквивалентности» данного множества. Его называют фактормножествам исходного множества по данному отношению эквивалентности.

Особый интерес и важность среди отношений эквива­лентности (которые, напоминаем, по определению суть произвольные рефлексивные, симметричные и транзитив­ные отношения) представляют так называемые конгруэнции, т. е. такие отношения эквивалентности π, что для любой определенной на рассматриваемом множестве п-местной операции ω и любых двух наборов из п элементов и из того, что для всех 1, . . ., п следует Иначе говоря, конгруэнция — это отношение эквивалентности, «подстановочное» для любой определенной на данном множестве операции. Такие отношения эквивалент­ности представляются в некотором смысле наиболее «естест­венными»: они (в отличие от произвольных отношений эквивалентности, введенных, быть может, каким-либо «искусственным» образом) позволяют ввести на фактор­множестве по данной конгруэнции все те операции, ко­торые были определены на исходном множестве. А имен­но, пусть А есть универсальная алгебра (т. е. множество с некоторой системой операций), а φ — конгруэнция на этой алгебре. Тогда для любой п-местной операции ω на А на фактормножестве (множестве классов эквивалент­ности) можно определить п-местную опера­цию ω, полагая для любых (причем определение это, в силу сказанного выше, от выбора конкретных «представителей» aі из каждого классасовершенно не зависит).

Таким образом, разбиение на классы эквивалентности, индуцируемое конгруэнцией, в самом естественном смыс­ле слова «сохраняет структуру» множества, «факторизуемоего» данной конгруэнцией, позволяя в применении к получаемому фактормножеству говорить обо всех опера­циях, «одноименных» операциям, определенным на исход­ном множестве. Больше того, мы можем в этом случае считать, что на фактормножестве определены просто те же самые операции и ана­логично рассматривать для классов эквивалентности, яв­ляющихся элементами фактормножества, те же самые отношения и свойства. Иначе говоря, индуцируемое кон­груэнцией разбиение определяет не просто фактормножест­во исходного множества, но и его факторалгебру: фактор­множество группы есть группа, фактормножество кольца есть кольцо (называемое соответственно факторгруппой и факторкольцом) и т. п.

Такого рода «факторизация» множеств с операциями по отношениям конгруэнции играет большую роль как инструмент исследования самых различных алгебраиче­ских систем; роль эта определяется тем фундаментальным обстоятельством, что любое отображение произвольной (универсальной) алгебры на любую факторалгебру по отношению конгруэнции, при котором каждый элемент исходной алгебры переходит в класс эквивалентности, которому он принадлежит, а операции определяются, как было указано в предыдущих абзацах, оказывается непре­менно гомоморфизмом. Устанавливающие этот факт так называемые теоремы о гомоморфизмах будут ниже предметом специального анализа. Здесь мы ограничимся рассмотрением пары примеров, показы­вающих, как в «факторизационную» схему просто и естест­венно укладываются и частные ситуации, избранные выше при выявлении природы всякого рода «упрощающих» отображений множеств на свои «карты», и вообще любые обладающие свойством «сохранения структуры» упроще­ния концептуальных схем. (Правомерность такой претензии основана на произвольном характере примеров; пере­ход от «произвольного» утверждения к универсальному есть содержательный аналог известного правила исчисления преди­катов )

3. Обратимся вновь к карте с «немногочисленными под­робностями», которую мы выше трактовали как результат гомоморфного преобразования «идеальной карты» лишь ценой введения «несобственных» (фиктивных) элементов («белых кружков на белом фоне»). При всей технической простоте и чисто логической неуязвимости такого представления, оно носит искусственный характер. А поскольку эпистемологические интерпрета­ции алгебраических конструкций нас интересуют больше их логической непротиворечивости (не представ­ляющей сколько-нибудь выжной самостоятель­ной проблемы), отказ от рассмотрения альтернативных подходов к этой же ситуации был бы совершенно не оправдан. Теперь же, пользуясь только что введенными алгебраическими концепциями, мы будем рассматривать лю­бую «упрощенную» карту как итог факторизации «идеаль­ной». Разбиение на классы эквивалентности мо­жет быть индуцировано не только конгруэнцией, но и произвольным отношением эквивалентности, так что и в этом общем случае имеет смысл говорить о фактормножест­ве, порожденном данным отношением эквивалентности. И рассчитывать на гомоморфизм произвольного фактормно­жества (по произвольному отношению эквивалентности) исходному («факторизуемому») множеству было бы, по меньшей мере странно. Но (в этом-то, в част­ности, и состоит значение теорем о гомоморфизмах) если «отождествление» и «склеивание» элементов в классы эк­вивалентности происходит не «как попало», а с сохра­нением предикатов, определенных на исходном множестве, т. е. если данное отношение эквивалентности является конгруэнцией, то тогда гомоморфизм налицо.