Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 77 )

(5)

Вначале производится формирование концепций, в результате чего воз­можно выделение из общей модели, описывающей множество кон­цептуально отличающихся объектов, непрерывной модели с об­ластью соответствующей рассматриваемой в текущий момент концепции Ω. На второй, достаточно хорошо формализуемой ста­дии, выбирают рациональный вариант в рамках каждой кон­цепции на основе уже непрерывной модели. Учитывая, что про­цедура определения концепции является первой и при ее выпол­нении математическое моделирование не используется, в пред­ставлении математических моделей возможно не выделять об­ласти в явном виде. Тогда для дальнейшей разработки вопросов формирования модулей является достаточным представлением матема­тической модели объекта в виде совокупности элементарных моделей (модулей):

каждая из которых может быть определена следующими компо­нентами:

(6)

Между приведенными компонентами и компонентами процесса формирования модели имеет место определенное соответствие, заклю­чающееся в том, что вектор переменных отражает параметры объекта —

а связи — условия допустимости (V) и

правило вычислений значений критериев оценки вариантов моделей (F):

Приведенное определение математической модели соответствует ее представлению в виде ППП модульной структуры, где каждый модуль — элементарная модель — выступает в роли «черного ящика» с обозначенными лишь входами-выходами. В таком кон­тексте основная информация, которая может быть использована в процессе формирования модуля, содержится в структуре исходной модели, отражающей информационные связи между входящими в ее состав элементарными моделями.

Основными «конструк­тивными элементами» математической модели для рас­сматриваемого нами класса задач являются те или иные постоянные и переменные величины, входящие в состав модели, и функциональные зависимости одних величин от других. Некоторые из постоянных величин могут быть зада­ны (это параметры задачи), другие — искомыми; то же относится к функциям. Модель составляется с таким расче­том, чтобы, найдя искомые величины и функции, мы могли дать ответ на поставленные вопросы. Так, в ранее рассмотренном примере ответ на вопрос о характере колебаний давала функция x(t), а о частоте — постоянная ω0.

Заданные и искомые величины и функции в математиче­ской модели обычно связываются уравнениями и неравенст­вами. Более того, во многих случаях, особенно в задачах анализа, сама модель имеет вид уравнения или системы уравнений. Но и в том случае, если модель содержит еще что-то, уравнения обычно составляют ее весьма существен­ную часть.

Уравнения, включаемые в математическую модель изу­чаемого объекта, выписываются на основе определяющих соотношений между величинами, вытекающих из постула­тов содержательной модели, как это в простом примере мы сделали ранее. Эти постулаты могут иметь различное происхождение и различную степень адек­ватности.

Некоторые постулаты непосредственно вытекают из уни­версальных физических законов, таких, как закон сохра­нения энергии, второй закон Ньютона и т. п. Аналогичную роль играют фи­зические законы с ограниченной областью действия, для которых возможность применения в изучаемой задаче сле­дует из универсальных законов, например, если идет речь о применении закона сохранения масс в задачах инженерной механики. (В этих задачах изменения масс, вытекающие из теории относительности, явно пренебрежимо малы.) Полная адекватность таких постулатов несомненна.

Однако универсальных и родственных им законов в подавляющем большинстве исследований недостаточно и поэтому приходится также пользоваться законами, име­ющими иной характер. Широко применяются, в частности, феноменологические законы — такие, как закон Гука или упомянутый ранее закон Фурье,— т. е. достаточно хорошо эмпирически (и отчасти теоретически) обоснованные законы с ограниченной областью действия, также установ­ленной эмпирически. При применении феноменологического закона для построения математической модели весьма важ­ными являются вопросы о самой возможности этого приме­нения (т. е. о попадании изучаемой ситуации в сферу дей­ствий закона) и о последствиях возможных отклонений от этого закона. Бывает, что возможность этого применения оговорена в условии задачи, но эти вопросы все равно возникнут при применении полученных результатов к реальному объекту.

Еще менее универсальный характер имеют полуэмпи­рические соотношения, получающиеся в результате соче­тания качественных соображений (в частности, соображений размерности) и обработки результатов эксперимента или иной статистики либо выведенные из других соотношений такого же характера. Так, в прикладной аэродинамике хо­рошо известна формула для подъемной силы Р при плоском дозвуковом обтекании крыла:

(7)

где ρ и v — соответственно плотность и скорость набегаю­щего потока, b — хорда профиля крыла, а cу — безразмер­ный коэффициент, зависящий от формы профиля и направ­ления набегающего потока. То, что формула должна иметь такой вид, легко вытекает из соображений размерности, но для конкретных расчетов очень важно знать, чему равно су для различных реальных профилей и «углов атаки» α, характеризующих направление набегания потока. Это теоретически сделать в принципе можно, но не просто; проще это сделать эмпирически путем продувки модели в аэродинамической трубе. В результате были получены гра­фики зависимости су(α) для многих наиболее интересных профилей.

Интересно сравнить формулу (7) с формулой Жуков­ского для той же задачи: где Г — циркуляция вектора скорости воздуха по контуру, охватывающему про­филь крыла. Последняя формула в теоретическом отношении более совершенна, так как не содержит эмпиричес­кого коэффициента сy. Но как в реальной ситуации найти значение Г? Теоретически это удается лишь в редких слу­чаях, а получить Г с помощью измерения еще сложнее, чем сy. Таким образом, формула (7) обладает существенным преимуществом в продуктивности, о которой мы говорили ранее.

Применяются также и чисто эмпирические соотно­шения, получаемые с помощью прямой обработки данных наблюдения или эксперимента и зачастую даже привязан­ные к определенным единицам измерения.

К сожалению, и этих соотношений порой оказывается мало, и приходится идти на определенный риск, применяя известные формулы вне рамок, где они были установлены, в надежде на то, что это не даст существенной ошибки либо что ошибку можно будет компенсировать путем каких-то поправок. Порой приходится также выводить новые форму­лы на основании недостаточных данных. В таких случаях надо отчетливо видеть — и не скрывать от других — слабые места в рассуждениях, так как здесь особенно велика опас­ность грубых ошибок и, в частности, подгонки решения под желаемый результат, который к тому же, особенно после применения ЭВМ, получает видимость математического обоснования. В таких случаях математика может принести не пользу, а вред!

Выводы из недостаточно обоснованной модели надо ста­раться перепроверять, меняя модель либо сравнивая какие-либо из этих выводов с эмпирическими данными или теоре­тическими результатами, полученными независимо от про­водимого исследования.

3.6.5. Сетевая структура математических моделей

Довольно часто употребляемыми являются пред­ставления структуры математических моделей в виде графа. При этом возможно использование ориентированных графов, в кото­рых вершины соответствуют операторам элементарных моделей а дуги — переменным, причем входящие дуги каждой вершины fі определяют векторы а исходящие — Такое представление структуры модели применяют, обычно, при решении задач планирования вычислений на ППП модульной структуры или, другими словами, при гибком построении расчетных мо­делей, что является частью одной из процедур формирования модулей. В основе планирования в данном случае лежит тот факт, что мно­жество всевозможных путей на графе исходной модели объекта в целом представляет собой множество подмо­делей, которые можно сформировать из элементарных моделей, порождающих этот граф. Каждый такой j-й путь представляется естественно упорядоченным множеством чисел элементами которого являются номера вершин, лежащих наэтом пути. При этом предполагается, что граф модели является предварительно упорядоченным по условию: если на информационном графе существует путь из в а его связи пронумерованы, соответственно, числами натурального ряда: