Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 104 )

В связи со сказанным упомянем о полезном понятии чувствительности функции у (х) при данном значении аргумента: это коэффициент пропорциональности между малыми относительными изменениями аргумента и функции, т. е. , откуда

Аналогично определяется чувствительность функции не­скольких переменных по каждой из них. Особенно просто выражается чувствительность для степенных функций: так, если то,

Для оценки возможного влияния ошибок вычислитель­ного метода наиболее убедительным является сравнение ответа с результатом решения той же задачи с помощью другого, независимого метода. Так, решение краевой задачи, полученное методом сеток, можно проверить, построив ее решение по методу Галеркина или методу конечных элемен­тов. Возможна также проверка решения в рамках одного метода. Например, результат, полученный методом сеток, можно проверить, уменьшив шаг сетки; результат приме­нения метода Галеркина можно проверить, изменив базис, и т. д. (Впрочем, для некоторых простых задач, например задачи Коши для обыкновенного дифференциального урав­нения, выдерживание заданной точности может осуществ­ляться автоматически с помощью стандартной программы на ЭВМ.) Если речь идет о решении серии однотипных задач, различающихся значениями параметров, то такой контроль полезно провести для нескольких наборов значений парамет­ров, достаточно убедительно представляющих полный диа­пазон их значений. Для некоторых таких наборов решение или его компоненты (амплитуда и т. п.) могут быть известны из каких-либо дополнительных соображений — например, из эксперимента; соответствие построенного решения этим сведениям также повышает доверие к нему.

Что касается ошибок округления, то в эпоху ЭВМ они приобрели особую актуальность. Когда в длинных цепочках вычислений последующие выкладки все время опираются на результаты предыдущих, ошибки округления могут разра­статься до такой степени, что, начиная с некоторого момента, мы будем иметь дело в сущности с одними лишь ошиб­ками — как бы шум полностью заглушит мелодию.

Вот яркий пример такого эффекта. Пусть нам надо вычислить интеграл

При Заметим, что при имеем и потому

(1)

Кроме того, с помощью интегрирования по частям легко установить, что

(2)

Поэтому, вычислив можно с помощью рекуррентной формулы (2) последовательно вы­числить Приведем результатывычисления таким методом значений

При п>9 эти результаты явно ошибочны, так как противо­речат неравенствам (1).

Причины ошибки легко понять: при вычислении первоначальная погрешность округления f0 умножается на п!, а так как точное значение In, стремится к нулю при то относительная погрешность стремительно возра­стает.

Данные вычисления нетрудно перестроить так, чтобы погрешность не разрасталась, а уменьшалась. Для этого достаточно в соотношении (2) заменить п на п + 1 и переписать его в виде

Теперь можно вычислять In, переходя от бóльших значений п к меньшим, положив некоторое стартовое In просто равным нулю, причем при последовательных вычислениях влияние погрешности этого допущения и последующих округлений будет затухать. Так, положив получаем значения

Более точные вычисления дают значения

а в остальных результатах для все выписанные цифры верны. Хорошо видно, как происходит приближение зна­чений к точным, и наоборот, удаление от них.

Ошибки округления при решении дифференциальных уравнений дискретными методами могут создать парадок­сальную ситуацию: желая повысить точность результата, мы измельчаем шаги, но если применяемый метод выбран неудачно (неустойчив в вычислительном отношении), то из-за увеличения числа действий ошибки округления на­чинают сказываться сильнее и итоговая погрешность возра­стает. Часто такая неустойчивость обнаруживается сама, порождая быстро разрастающиеся осцилляции решения и даже переполнение ячеек, совершенно не согласующиеся с реальным смыслом задачи. В менее острых ситуациях влия­ние ошибок округления можно выяснить с помощью повтор­ного вычисления с удвоенной точностью, или с одной недо­стающей значащей цифрой, или с измененным шагом ин­тегрирования и т. д.

3.8.11. Особенности процесса решения содержательных задач

Мы уже говорили, что при решении уравнений, составляющих математическую модель, за математически­ми величинами все время скрываются их физические прототипы. Это дает возможность в процессе решения в необходимых случаях опираться на интуицию, применять наглядные и физические соображения. Однако слишком вольные отклонения от строгих математических рассуж­дений могут приводить к существенным ошибкам; поэтому логические пробелы и другие слабые места в рассуждениях должны ясно осознаваться. В то же время интуицию, позво­ляющую выбрать правильный метод решения и избежать ошибок при наличии таких слабых мест, надо всячески развивать.

Одной из характерных черт прикладных математических исследований является широкое применение понятий, не вполне четко определенных с позиций строгой математики; такие понятия принято называть размытыми. Так, мы можем говорить, что тот или иной вычислительный метод в определенных условиях хорош или плох, что некоторый ряд или итерационный процесс сходится быстро или медленно, что погрешность приближенного решения велика или мала и т. п., не давая этим терминам (по существу, понятиям) строгого определения — что не мешает им нести полезную информацию.

Важным размытым понятием, широко применяемым при решении содержательных задач, является понятие прак­тической сходимости бесконечного процесса, означающее возможность получения ответа за приемлемое число шагов с приемлемыми точностью и достоверностью. Допустим, что речь идет о бесконечном ряде. В курсе математики, изучая сходимость ряда, мы обычно считаем, что все его члены заданы явной формулой или удовлетворяют явно выписан­ному неравенству. В отличие от этого в приложениях мате­матики (например, при применении метода малого парамет­ра) обычно члены ряда просто вычисляют один за другим. Ясно, что при таком образе действий строго доказать сходимость ряда невозможно. Но этого и не делают; вместо этого сравнивают друг с другом последовательные частные суммы ряда и если обнаружится отчетливая тен­денция к сходимости (кстати, это понятие также является размытым) и нет оснований ожидать, что дальнейшие члены нарушат эту тенденцию, то вычисления прекращают, при­нимая полученную частную сумму за полную сумму ряда. Аналогичным образом рассматривают на практике бесконеч­ные процессы других типов, причем часто совершение 2— 3 шагов позволяет уловить тенденцию. Так, при применении метода сеток заключение о практической сходимости можно сделать, сравнив результаты вычислений при уменьшении шага сетки; если применяют метод типа Галеркина, то сравнивают результаты вычислений при расширении множе­ства координатных функций и т. п.

К сказанному добавим, что признание того или иного процесса практически сходящимся или расходящимся суще­ственно зависит от тех вычислительных средств, которыми мы располагаем. При этом бесконечный процесс — напри­мер, ряд,— сходящийся в чисто математическом смысле, не всегда является практически сходящимся; см. примеры в п. 3.8.12 или еще более эффективный пример

(Прикидка показывает, что для подсчета суммы этого «бы­стро сходящегося» с абстрактных позиций ряда с точностью до 10 верных цифр потребуется вычислить значения пример­но 400 членов с точностью до 10-55, из-за чего средние члены в этой сумме придется подсчитывать со 100 верными циф­рами!) И обратно, примеры п. 3.8.3 показывают, что ряд, расходящийся в смысле чистой математики, может оказаться практически сходящимся. Правильная квалификация про­цессов как практически сходящихся опирается не только на логические рассуждения, но и в еще большей мере на анализ своего и чужого опыта, на пробы и ошибки, позволяющие накопить правильную интуицию.