Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 42 )

изоморфным образом никакого элемента группы при изоморфизме 4) есть образ элемента gn при

изоморфизме Легко доказать, что для любых двух нитей

и

припоследовательность элементов

гдетакже является нитью, которую называют произведением нитей и обозначают через При k = l такая последовательность уже может не быть нитью (поскольку элементв этом случае может обладать прообразом в группе при изоморфизме но может быть дополнена, причем вполне одно­значным образом, до нити присоединением к ее началу не­скольких элементов; результат такого дополнения и назы­вают в этом случае произведением нитей

Ассоциативность определенного таким образом умно­жения нитей немедленно следует из ассоциативности груп­повых операций в группах Gn. Роль единицы при таком умножении играет единичная нить, составленная из еди­ниц соответствующих групп. Также естественно опре­деляется понятие нити, обратной к данной. В результате множество всех нитей оказывается группой, которую и называют предельной группой для исходной последова­тельности групп, или, по-другому, суммой (объединением) возрастающей (в силу изоморфизмовпоследовательности групп.

Понятия эти, подобно упомянутым в предыдущем пунк­те, обобщаются на случаи более сложных, чем обычное на­туральное, полных упорядочений множеств групп, а так­же упорядочений, не являющихся полными упорядоче­ниями.

3. Понятие возрастающей последовательности групп допускает и дальнейшие обобщения. Пусть І — направленное множество, т. е. такое частично упорядоченное множество, что для любых двух его элементов α и β найдется такой элемент у из І, что и (в смысле частичного порядка на І). Множество групп индексированных элементами направленного множества І, называют прямым спектром, если для любых задан гомоморфизм причем изследует

Множество а элементов взятых по одному из не­которых (не обязательно из всех!) причем такое, что если а содержит некоторый элемент то содержит и его образы для всеха также прообразы для всех тех для которых эти прообразы существуют, называют в этом случае нитью. Произ­ведение нитей и — это, по определению, нить, порождаемая произведением для любого γ, для которого существуют и (от выбора γ произве­дение не зависит, а существование хотя бы одного такого γ следует из факта направленности множества І).

В результате множество всех нитей оказывается груп­пой, называемой пределъной группой (или просто преде­лом) рассматриваемого прямого спектра.

Известна также конструкция, в определенном смысле двойственная только что описанной. Множество групп где α пробегает направленное множество индексов І, называют обратным спектром, если для любых задан гомоморфизм называемый проекцией обладающий тем свойством, что из следует

Нитью называют в этом случае множество а элемен­тов взятых по одному из каждой (в этом отличие от предыдущего определения) обладающее тем свойством, что из

и сле­дует Произведением нитей и называют множество произведений которое также, очевидно, является нитью. Как и в пре­дыдущем случае, множество всех нитей оказывается груп­пой, которую и называют предельной группой (или преде­лом) данного обратного спектра.

4. Чтобы описанные в пп. 1—3 понятия оказались пригодными для интересующих нас целей «струк­туризации» познавательной деятельности в аспекте, кратко очерченном в начале настоящего параграфа, следует перенести их со сравнительно специальных объек­тов, каковыми являются группы, на алгебраические сис­темы произвольного вида. Возможность такого перенесе­ния представляется достаточно очевидной, а в связи с об­щим характером настоящего изложения более детально обсуждаться пока не будет. Хотелось бы все же отметить, что на самом деле уже групповые (т. е. описанные в пп. 1—3) модификации понятий спектров и предельных ал­гебраических систем обладают довольно-таки значитель­ной степенью общности: любая сколько-нибудь интересная в эпистемологическом отношении сис­тема объектов (точнее здесь, пожалуй, говорить о соот­ветствующих системах абстрактных понятий) скорее «богаче», чем абстрактная группа, нежели «беднее». Трудно представить себе, чтобы в сигнатуре достаточно содержательной по своим свойствам системы «не нашлось места» для обычной групповой операции. Но то обстоятельство, что интересующие нас алгебраические системы «по совместительству» являются группами, от­нюдь не избавляет нас от необходимости обобщения тео­ретико-группового концептуального аппарата: ведь мы хотим говорить о «пределах» последовательностей систем объектов (хотя мы заранее, собственно, и не знаем толком, что же именно нам хочется) не в одном лишь теоретико-групповом аспекте, а, так сказать, «по всей сигнатуре».

Особенно же интересными для наших целей могут, по-видимому, оказаться конструкции типа «двойных спектров», т. е. последовательности гомоморфных (или метаморфных) образов некоторой системы, одновременно являющиеся прямыми спектрами, если ее описывать в обычных содержательных (предикатных, концептуаль­ных, или, как говорят, интенсиональных) терминах, и обратными спектрами при рассмотрении ее с объемной (теоретико-множественной, экстенсиональ­ной) точки зрения. Такие конструкции, в частности, позволили бы нетривиальным образом интерпретировать в эпистемологических терминах так называемый закон обратного отношения. Впрочем, такая «дуализация» понятия спектра возможна и внутри лю­бого из названных аспектов.