Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 37 )

В ряде случаев (хотя и не всегда) одни и те же (в содержательно-концептуальном смысле) опера­ции могут быть описаны с привлечением различных язы­ковых средств: в терминах гомоморфизма, метаморфизма или параморфизма. Наиболее подходящими для иллюст­рации этого предположения представляются примеры, связанные с упрощенным (плоским, черно-белым, дальтонистским, сма­зывающим мелкие детали и т. п.) зрительным или фото­графическим «моделированием» реальных пространствен­ных предметов, окрашенных в разные цвета и имеющих, вообще говоря, весьма сложное строение. Поскольку никакие конкретные утверждения относительно условий такого рода «переводимости описаний» ниже не понадобятся, мы не будем пытаться развивать здесь даль­ше эту тему.

4. Целью настоящего параграфа было прежде всего показать, что понятие гомоморфизма допускает ряд естест­венных обобщений, легко интерпретируемых в терминах теоретико-познавательных задач.

Из сказанного выше не следует делать вывод о возможности полного сведения части вновь введенных понятий к понятию гомоморфизма (хотя в частных слу­чаях возможность такой редукции бросается в глаза); но не будем торопиться и с формулировкой противопо­ложного заключения. Пока мы можем лишь отметить, что независимо от гипотетической взаимной зависимости или независимости упомянутых понятий они, рассматривае­мые как гносеологические (а не только как логические) категории, появляются в ходе анализа методологических проблем совершенно независимо друг от друга.

Еще одна оговорка. Речь идет о том последовательном переборе различных логи­ческих возможностей обобщения понятия гомоморфизма, который мог создать впечатление некоей претензии на исчерпывающую полноту учета всех случаев, представляю­щих интерес для гносеологической проблематики. На де­ле же есть серьезные основания полагать, что едва ли не самые интересные примеры «моделирования» (в доста­точно разумном понимании этого термина) как раз не укладываются в схему каких бы то ни было обобщений понятия гомоморфизма.

2.9. Дополнительные определения

Частью из эксплицируемых ниже поня­тий и терминов мы уже широко пользовались, довольст­вуясь интуитивными представлениями о них, пояснения­ми, даваемыми по ходу дела, или ссылками на соответ­ствующую специальную литературу. При дальнейшем изложении метериала ссылки на интуицию и «естественность» терминологии будут не облегчать, а, напротив, загромож­дать изложение, поэтому введем дополнительные определения.

1. Упорядоченную тройку где А — произвольное множество, — набор определенных на А операций, а — набор определенных на А преди­катов, принято называть алгебраической системой. Под n-арной операцией на А понимается функция, областью определения которой служит множество (всех) упорядо­ченных п-ок элементов А, а областью значений — само А; п-арным (или п-местным — это, как и для операций, просто синоним) предикатом на А называют функцию, областью определения которой служит множество упо­рядоченных п-ок элементов А, а областью значений — произвольное двухэлементное множество (элементы кото­рого обозначаются с помощью любых совершенно произ­вольных символов; традиционное, хотя отнюдь не «обя­зательное», обозначение их через 1 и 0, t и f или И и Л связано, как легко понять, с интерпретацией их как «значений истинности»: «истина» и «ложь» соответствен­но ( в соответствии с такой интерпретацией часто вообще вместо «Р (х1, . . ., хп) = 1» пишут просто «Р (х1, . . . хп)» и говорят, что Р (х1, . . ., хп) «имеет место», а вместо

(Р (х1, . . ., хп) «не име­ет места»). Иными словами, операции — это операции («дей­ствия») в самом обычном (для элементарной математики) смысле, предикаты же — это (п-местные) отношения.

Алгебраическую систему с пустым множеством пре­дикатов называют обычно алгеброй (или универсальной алгеброй ( «универсальной»— значит «с произвольными операциями» (в отличие от конкретных операций, характерных для конкретных классов алгебраических систем)), а систему с пустым множеством операций — моделью (или реляционной системой). Термином «мо­дель» в этом (единственном до конца четком!) смыс­ле мы пользоваться не будем, а термины «алгебраическая система» и «алгебра» будем употреблять просто как синоним в любом из трех упомянутых только что смыслов. Мы можем позволить себе такие терминоло­гические вольности благодаря тому, что с точностью до свойств алгебраических систем, не существенных для интересующих нас здесь целей, каждую операцию можно заменить предикатом; точнее, каждую п-местную опера­цию можно заменить (п+1)-местным пре­дикатом полагая, по определению,

Алгебраист

назвал бы получающийся (в результате замены всех операций данной системы предикатов) объект «мо­делью», но мы как раз этим термином по понятным при­чинам пользоваться не будем, а воспользуемся, как гово­рилось, любым из освободившихся.

Множество операций и предикатов, определенных на некоторой алгебраической системе, называют ее сигнату­рой. В соответствии со сказанным в предыдущем абзаце мы, заменяя каждую алгебраическую систему «представ­ляющей» ее моделью, в сигнатуру которой не входят ни­какие операции, можем вообще в дальнейшем ограни­читься рассмотрением алгебр (систем), сигнатуры которых состоят исключительно из предикатов.

2. Пусть теперь и — алгеб­раические системы (А и В — их основные множества, — сигнатуры, которые, в силу сказанного выше, мы будем считать состоящими только из предикатов). Однозначное (но отнюдь не обязательно взаимно-одно­значное) отображение та­кое, что для любого предиката Ра из Ωa его образ имеет тот же ранг, а для произвольных и из Ωa имеет место мы будем называть метаморфным (относительно сигнатур и или просто метаморфизмом, а— метаморфным образом системы Очевидно, что каждый гомоморфизм яв­ляется метаморфизмом, но, вообще говоря, не обратно. Однако метаморфизм, как и любой гомоморфизм, есть реф­лексивное и транзитивное (вообще говоря, не симметри­чное) отношение.

3. Если в определении из п. 2 условие равенства рангов соответствующих друг другу предикатов заме­нить 1) требованием невозрастания ранга предикатов при отображении и 2) условием «согласованности» отдельных частей определения (т. е. их совместимости, корректности, то мы получаем понятие параморфизма, более общее, чем метаморфизм, но также обладающее свойст­вами рефлексивности и транзитивности. Таким образом, и это отношение частично упорядочивает класс алгебраи­ческих систем, причем на сей раз даже не однотипных, а, так сказать, «всех мыслимых». Конечно, не может быть и речи об определенности такого упорядочения для произ­вольной пары алгебраических систем.

Громоздкость предполагаемых «условий со­гласованности» мешает естественной интерпретации вве­денного понятия, а в совокупности все входящие в эти условия ограничения должны быть столь сильны, что боль­шого выигрыша в общности при введении рассматривае­мого отношения (по сравнению с отношением метаморфиз­ма, во всяком случае) мы не получаем. Поэтому подроб­нее обсуждать этот вопрос мы пока не станем.

2.10. Схема «отражения» в алгебраических терминах

Введенных выше понятий уже вполне достаточно для того, чтобы сформулировать анонсированное в начале ра­боты описание формально-структурных закономерностей «отражения бытия сознанием» в чисто алгебраических терминах.

1. Если представить себе интересующий исследова­теля фрагмент окружающего мира как некоторую алгебраическую систему, то «идеальной» «моделью» этого фраг­мента была бы некоторая другая алгебраическая система, изоморфная исследуемой относительно полного набора оп­ределенных на ней предикатов. Но представление о «сиг­натуре Мира» как о некотором точно описанном или хотя бы «наличествующем» в реальности и потому в принципе поддающемся изоморфному описанию набора «атрибутов» базировалось бы на посылках, которым при всем желании не придать конструктивного характера. Дело даже не в том, что предположение об «обозримости» этой сигнатуры имеет явственный платонистский оттенок — совершенно не ясно, какими (исключая разве что сверхчувственные) методами можно было бы рассчитывать «реализовать» (т. е. «предъявить» в явном виде) такое изоморфное опи­сание. Поэтому следует признать, что «абсолютно изоморф­ная» модель действительности есть лишь далеко идущая идеализация.