Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 107 )

Решение (17) асимптотически устойчиво при t →∞ относительно малых изменений начальных значений и малых отклонений к(и) от отопенной зависимости. При незначительных изменениях условий (15), (16) основные закономерности процесса нагрева, которыемдает пространственно-временная структура астомодельного решения (17), сохраняется.

2. Режим с обострением

Режим с обострением называется такой закон изменения некоторой величины, который обеспечивает ее неограниченное в течение конечного времени.

Задача Коши для одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности

коэффициент теплопроводности. Сверхинтенсивное горение: β>1.

Преобразование переменных

Свойства решений уравнения (4) существенно различаются в случаях β=3, β>3, β>3.

Частный случай уравнения (4):

Получим точное автомодельное решение уравнения (5).

Ищем решение в виде

где

Решение Зельдовича-Компанейца-Баренблатта:

где

Решение (7) описывает тепловые волны.

UA(x, t) - решение типа мгновенного точечного источника мощности Е0, действовавшего в точке х=0 в момент t =0.

Пусть в среде имеется источник тепловой энергии, соответствующий β=3:

Ищем автомодельное решение уравнения (8) в виде:

из (8), (9)

(9), (10) локазизованный S–режим с обострением:

где Т0 – время существования решения, Ls=π√3 – длина носителя решения в любой момент времени.

Решение локализовано в области

При

Такие тепловые структуры называются режимами с обострением. Стоячие температурные волны

Рассмотрим уравнение (4) с β=2.

Ищем решение в виде

где Т0 – время существования тепловой структуры.

(13), (12)

Функция θ(ξ) строго положительна на интервале (-ξ0, ξ0) и равна нулю вне его. θ(ξ) и ξ0 определяются численно.

Свойства решения:

а) режим с обострением:

б) в любой момент времени тепловая структура имеет конечные правый х+(t) и левый х-(t) фронты:

в) фронты движутся с увеличиваюшейся скоростью и в момент обострения t = Т0 тепловая структура охватывает всю прямую, нагревая ее всюду до бесконечной температуры. НS – режим.

Рассмотрим уравнение (4) с β=4.

Мощность источника энерговыделения Q(и)=и4 при больших температурах выше, чем в S – режиме (β=3) и НS – режиме (β=2). Сильно локализованные тепловые структуры.

Ищем решение в виде

где Т0 >0 – время время обострения решения.

(16), (17)

Асимптотика:

СА - постоянная, определяются численно.

Локализация понимается в эффективном смысле: решение во времени растет во всех точках, но неограниченно растет только в точке х=0. Температура ограничена сверху предельнным распределением

LS- режим.

3.9.2. Математические модели теории нелинейных волн

1. Метод характеристик

Уравнения переноса:

Квазилинейное уравнение переноса:

Задача Коши:

(6), (8)

где f(ξ) – любая дифференцируемая функция.

Решение задачи (6), (7) определяется из неявного уравнения

Метод характеристик:

х=х (t) – решение уравнения (9)

и(х(t), t) константа на кривой х=х (t)

х=х (t) прямая линия на плоскости (х, t) с наклоном

определяемым начальной функцией

Уравнение прямой

Мы получили однопараметрическое семейство прямых, зависящих от параметра ξ, на которых решение u(х, t) уравнения (6) оказывается постоянным. Это позволяет по начальной функции и0(ξ) определить функцию u(х, t) в любой момент времени t.

Выберем точку

и построим соответствующую ей характеристику

с углом наклона

Всюду на характеристике

Точка (хк, t1) – точка пересечения прямой t= t1 с характеристикой

Скорость переноса начального значения и0(ξк) вдоль характеристики зависит от решения, профиль и0(х) искажения – дисперсия бегущей волны. При t≥tp характеристики пересекаются, профиль неоднозначный – опрокидывание волн.

2. Обобщенное решение. Условие на разрыв.

Обобщенное решение: функция и(х, t) удовлетворяет уравнению (6) в обобщенном смысле, если для любого прямоугольника

и любой бесконечно дифференцируемой и финитной в Пxt функции ψ(х, t) справедливо интегральное тождество

Если ис(1) , то обобщенное решение (10) удовлетворяет уравнению (6) в обычном смысле: