Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 47 )

Построение различных моделей одного и того же объекта может иметь целью различную точность, детализацию его свойств. Так, в примере п. 3.1.1 мы можем пожелать учесть влияние (малых по предположению) противодействующих сил. Приняв гипотезу вязкого трения, согласно которой противодействующая сила пропорциональна скорости, мы вместо (1 п. 3.1.1) приходим к уравнению

(1)

с малым коэффициентом трения f, т. е. к другой математиче­ской модели — хотя и того же типа, что первая.

Общие черты математической модели вырисовываются уже при формулировании содержательной модели исследуе­мого объекта. Однако и после этого обычно бывают возмож­ны различные видоизменения математической модели: в уравнениях можно отбрасывать какие-либо члены или до­писывать новые, нелинейные зависимости заменять линей­ными и наоборот, усложнять или упрощать геометрические формы и т. д.

Возможна и обратная картина: различные реальные объекты или различные содержательные модели могут иметь одну и ту же математическую модель — например, описы­ваться одинаковыми дифференциальными уравнениями. Так, нетрудно показать (проделайте это!), что сила электрического тока, возбужденного в некоторый момент в замкнутом контуре, последовательно содержащем сопро­тивление R, индуктивность L и емкость С, удовлетворяет уравнению

Это уравнение с точки зрения математики совпадает с (1), так как обозначение и физический смысл участвующих величии с этой точки зрения несущественны. То же урав­нение при другом смысле букв описывает разнообразные осцилляторы (колебательные системы) и иной природы. Поэтому, изучив математическую модель, мы можем часто делать выводы о свойствах разнообразных объектов. Кроме того, если различные объекты имеют одинаковую мате­матическую модель, то становится возможным моделировать один из этих объектов другим. Например, вместо исследо­вания колебаний сложной линейной механической системы можно производить измерения в соответственно подобранной электрической цепи, имеющей ту же математическую мо­дель. На этом основано действие электромеханических, оп­тико-механических и других аналоговых устройств. Заме­чательно, что при применении таких устройств сама мате­матическая модель как бы остается в стороне (значения интересующих нас механических величин непосредственно получаются по результатам электрических измерений), хотя именно на единстве модели основана возможность этого применения.

Умение правильно выбрать математическую модель из уже известных или, тем более, построить таковую заново требует необходимых математических и специальных зна­ний и соответствующих навыков. Как пишет , «опыт показывает, что во многих случаях правильно выбрать модель (математическую) — значит решить проб­лему более чем наполовину».

3.1.4. Требование адекватности

Важнейшим требованием к математической модели является требование ее адекватности (правильного соответствия) изучаемому реальному объекту а относительно выбранной системы S его свойств (см. п. 3.1.1). Под этим прежде всего понимается

1) правильное качественное описание рассматриваемых свойств объекта: например, возможность на основании иссле­дования модели сделать правильный вывод о направлении изменения каких-либо количественных характеристик этих свойств, о их взаимосвязи, о характере колебаний объекта, об устойчивости его состояния или эволюции и т. п.

Кроме того, в требование адекватности обычно входит и

2) правильное количественное описание этих свойств с некоторой разумной точностью.

В соответствии с тем, ставится условие 2) или нет, говорят соответственно о количественных или качествен­ных моделях. Вместо количественной адекватности говорят также о точности модели.

В областях, еще не подготовленных для применения развитых количественных математических методов, либо в тех областях, где количественные закономерности проявля­ются не вполне четко (например, в некоторых социальных или биологических науках), математические модели явля­ются, как правило, по необходимости лишь качественными. Даже в технике, где применение математики давным-давно апробировано, модель может оказаться лишь качественной из-за сложности изучаемого объекта. Однако и тогда выяв­ление на модели существенных свойств этого объекта помо­гает правильно ориентироваться.

Естественно говорить не просто об адекватности модели, но также о большей или меньшей адекватности. Подчеркнем, что эту адекватность следует рассматривать только по опре­деленным признакам — свойствам, принятым в данном ис­следовании за основные. Если они явно не указаны, то должны подразумеваться либо уточняться по ходу иссле­дования.

Для колебательной системы п. 3.1.1 с медленным зату­ханием модель (1 п. 3.1.1) адекватна по отношению к частоте колебаний и в определенной степени к характеру колебаний, так как на небольшом интервале времени затуханием коле­баний можно пренебречь. Однако если нас интересует ско­рость этого затухания (пусть малая, но все же существую­щая), то модель (1 п. 3.1.1) неадекватна, а в качестве адекватной модели можно взять уравнение (1 п. 3.1.3).

В качестве другого примера рассмотрим задачу о распро­странении тепла в твердом теле, материал которого одноро­ден (т. е. одинаков во всех точках) и изотропен (т. е. одинаков во всех направлениях). Стандартные рассуждения, основанные на законе Фурье, приводят (см. Добав­ление, п. 1а) к известному уравнению теплопроводности

(1)

в котором θ — температура, t — время, а а — коэффициент температуропроводности, характеризующий свойства мате­риала и содержащийся в справочниках. Оно с хорошей точностью описывает реальную эволюцию температуры, т. е. является в этом смысле адекватным в количественном отношении. Кроме того, из него можно вывести следствия качественного характера, также правильно описывающие реальный процесс: сохранение количества тепла и вырав­нивание температуры при для теплоизолированного тела, невозможность температурных «всплесков» и т. д.

Покажем, например, как из уравнения (1) вытекает закон сохра­нения тепловой энергии для теплоизолированного тела (Ω) с поверхностью (S). Так как количество теплоты (см. Добавление, п. 1а), то

(здесь мы, действуя противоположно тому, как это мы делали в Добавлении, п. 1а, сначала применяем правило Лейбница, а затем формулу Остроград­ского). Но для теплоизолированного тела имеем0 на (S), поэтому т. е. Q = const.

Таким образом, относительно этих свойств процесса урав­нение (1) адекватно и в качественном отношении. С другой стороны, известно, что из уравнения (1) вытекает фи­зически абсурдный вывод о бесконечной скорости распрост­ранения тепла. Значит, если в число целей исследования включить скорость распространения тепла (т. е. рассмат­ривать эту скорость как существенную характеристику про­цесса), то уравнение (1) окажется неадекватным как в количественном, так и в качественном отношениях и потре­буется его видоизменить.

Забвение того, что всякая адекватность математиче­ской модели реальному объекту лишь относительна и имеет свои рамки применимости, может привести (и не раз приводило) к грубым ошибкам, основанным на бескон­трольном приписывании реальному объекту свойств его мо­дели — например, к всерьез высказываемому утвержде­нию, что скорость распространения тепла «на самом деле» бесконечна.

В более сложных случаях неадекватность или низкая адекватность модели бывает не столь ясной, и мы можем говорить об адекватности лишь с некоторой долей уверен­ности. Эта уверенность повышается, если следствия из при­нятой модели хорошо согласуются с надежно установлен­ными фактами или физическим экспериментом.

Довольно часто бывает, что модель, построенная для изучения некоторых свойств объекта, адекватность которой установлена по отношению к этим свойствам, оказывается адекватной и по отношению к каким-то другим свойствам. Это неудивительно, особенно если модель выводится из хорошо проверенных физических законов и апробированных в изучаемом круге вопросов способов приложения мате­матики. Поэтому, говоря о математической модели и ее адекватности, часто не упоминают о том, какие именно свойства объекта моделируются. В этом нет беды, если не терять бдительности и не забывать о принципиальной огра­ниченности области возможного применения любой мате­матической модели.

3.1.5. Требование достаточной простоты

Если ориенти­роваться только на требование адекватности, то сложные модели следует предпочитать простым. В самом деле, усложняя модель, мы можем учесть большее число фак­торов, которые могут так или иначе повлиять на изучае­мые свойства. Так, в примере п. 1 при рассмотрении час­тоты колебаний модель (1. п. 3.1.3) имеет более высокую адек­ватность, чем (1 п. 3.1.1), так как из уравнения (1 п. 3.1.3) мы получаем значение угловой частоты с учетом малого трения (проверьте!):

(при переходе к приближенному равенству применена фор­мула Тейлора).

В данном примере решение усложненного уравнения не вызвало затруднений. Но в иных, особенно в нестандартных, ситуациях чрезмерное усложнение модели может привести к громоздким системам уравнений, не поддающимся изу­чению и решению.

Таким образом, мы приходим к требованию достаточ­ной простоты модели по отношению к исследуемой системе ее свойств. Именно: модель является достаточно простой, если имеющиеся в нашем распоряжении (в частности, вы­числительные) средства исследования дают возможность провести в приемлемые сроки и экономно по затратам труда и средств, но с разумной точностью качественный или количественный — в зависимости от постановки задачи — анализ исследуемых свойств и осмыслить результат.