Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 105 )

Важный частный случай размытых понятий составляют размытые величины. Они сохраняют некоторые признаки математических величин, но не обладают четкостью пос­ледних. Пусть, например, мы добиваемся того, чтобы пог­решность приближенного решения оказалась малой. Но что означает выражение «малая погрешность»? Это зависит от типа рассматриваемых задач, от традиций, возможных пос­ледствий ошибки и других явно или неявно не очень четко формулируемых условий, причем возникающие критерии малости сами являются размытыми. Допустим, что малой условились считать погрешность в 1%, а она получилась равной 1,5%. Тогда в большинстве случаев погрешность все равно назовут малой; погрешность в 10% вряд ли будет сочтена малой, а по поводу погрешности в 3% может возникнуть дискуссия, неизбежная при применении размы­тых понятий на нечеткой границе их действия.

При исследовании математических моделей широко при­меняется рассуждение по аналогии. Пусть, например, пока­зано, что некоторый метод хорошо проявил себя при реше­нии какой-то задачи З. Тогда часто тот же метод уже без дополнительного исследования применяют и при решении других задач, аналогичных З; ссылка на задачу З как бы служит обоснованием хорошего качества решения. Конечно, при этом можно и промахнуться, так как каждая новая задача имеет свою специфику. Но все же чаще разумная аналогия оказывается плодотворной, а если сохранять бди­тельность и действовать на основе здравого смысла и интуи­ции, то ошибок, как правило, удается избежать.

В исследование математической модели может быть включен численный или физический эксперимент и т. д. В книге содержится подробный анализ различных типов рассуждений, не обязательно вполне совершенных с позиций формальной логики, но полезных и потому широко приме­няемых при решении содержательных задач; там такие рассуждения названы рациональными.

3.8.12. О применении ЭВМ

ЭВМ превратились в повседневное орудие прикладной математики. Они не только повысили на много порядков скорость и точность вычислений для известных ранее классов задач, но и впервые сделали возможным решение огромного числа других задач. Одна­ко ЭВМ потребовали существенного изменения многих вычислительных методов и даже всей «вычислительной идеологии».

Значительную роль приобрел вычислительный экспе­римент. В раде случаев вместо попытки аналитического исследования свойств решений оказалось более целесообраз­ным выяснить эти свойства, построив решения на ЭВМ. Это относится, в частности, к решениям дифференциальных уравнений, включая свойства, связанные с асимптотиче­ским поведением решений, например с выяснением ус­тойчивости. Разновидностью вычислительного эксперимента является так называемое имитационное моделирование, применяемое для анализа поведения сложных экономиче­ских и т. п. задач, для которых математическую модель в виде системы уравнений даже выписать затруднительно.

В качестве примера перестройки подходов, вызванной ЭВМ, укажем на решение нелинейных дифференциальных уравнений. В «домашинную» эру считалось само собой разу­меющимся, что если в таком уравнении можно понизить порядок с помощью некоторой подстановки, то это следует сделать. Например, для решения уравнения

(1)

рекомендовалось рассматривать зависимость от х, что приводит к уравнению первого порядка Если нам удастся найти его решение р=φ(х), удовлетворяющее заданным начальным условиям, то полу­чаем соотношение и, вновь применяя начальное условие, приходим к конечному уравнению, свя­зывающему t с х. Такая процедура при аналитическом исследовании иногда приводит к цели, однако это удается лишь в редких случаях (если не говорить о специально подобранных примерах) и приходится прибегать к числен­ному интегрированию. Но для численного решения эта процедура плохо приспособлена, менее трудоемким оказы­вается непосредственное численное интегрирование урав­нения (1) без понижения его порядка. Так и надо посту­пать при работе на ЭВМ. Таким образом, надо уметь хотя бы совсем грубо оценивать объем вычислительной работы, необходимой для доведения решения задачи до конца раз­личными методами, имея в виду имеющиеся в распоряжении вычислительные средства.

В качестве другого примера такой перестройки укажем на вычисление сумм числовых рядов. Ранее для этого широко применялись разнообразные искусственные преобразования, некоторые из них и сейчас не потеряли актуальности; однако при применении ЭВМ нередко более эффективным оказыва­ется непосредственное суммирование членов ряда. Но при этом, как и в других подобных случаях, весьма ответствен­ным этапом является подготовка задачи к программи­рованию, т. е. выбор алгоритма, наиболее эффективного для решения конкретной задачи.

Поясним сказанное на простом примере. Пусть мы хотим вычислить сумму бесконечного ряда

причем, понадеявшись на мощь ЭВМ, решили не применять никаких ухищрений, а просто подсчитывать и складывать члены ряда, пока они не обратятся в машинный нуль. Однако несложный подсчет, который мы предоставляем читателю, показывает, что для ЭВМ средней мощности на это уйдет около 10 ч; при этом итоговая ошибка, даже без учета округлений, получится на десять порядков выше последних слагаемых.

Описанная схема вычислений крайне нерациональна. Результат получится гораздо быстрее и точнее, если, на­пример, просуммировать 104 первых членов ряда (это займет время порядка 0,1 с), а остаток заменить по приближенной формуле

точность которой имеет порядок 0,1 п-3. Таким образом, разумная подготовка задачи к программированию позволила здесь уменьшить время работы более чем на пять порядков! (Конечно, в данном примере можно было воспользоваться и справочниками, согласно которымно это редкий случай, когда сумма ряда явно выражается через известные константы.)

В качестве еще одного примера неразумной и разумной организаций алгоритма приведем вычисление значения е-10, которое с точностью до 10-7 равно 4,54∙10-5. Вычисление на микрокалькуляторе по тейлоровскому разложению

дает значение 1,112∙10-4, т. е. ошибку в 140 %! Причину этого нетрудно понять: хотя члены ряда в конечном счете стремятся к нулю, они перед этим успевают сильно возрасти, а так как вся сумма мала, т. е. эти возросшие члены почти взаимно уничтожаются, то погрешности в них оставляют существенный вклад (о подобной ситуации мы упоминали в ранее). Простая перестройка алгоритма в соответствии с формулой

устраняет эту трудность и приводит к значению 4,57∙10-5 с погрешностью 0,7 %.

Если решение математической задачи не сводится к указанию одного или небольшого набора чисел, то возникает еще проблема представления результатов, чтобы можно было их обозреть и ими пользоваться. Такая проблема возникает, в частности, для задач, содержащих параметры. Приведем простой пример: пусть мы хотим составить таб­лицу, с помощью которой можно было бы решать полное кубическое уравнение

(2)

при любых задаваемых коэффициентах а, b, с, d. Тогда, если допустить, что каждый из них может принимать 50 значений — а это не так уж много,— то всего получится комбинаций этих значений. Средней ЭВМ для выдачи результатов потребуется неделя непрерывной работы (основное время уйдет на печать), а результаты займут около 200 км ленты и ими практически невозможно будет пользоваться! Поэтому весьма актульным является един из основных тезисов, неоднократно подчеркиваемый Р. Хеммингом в книге, предназначенной для инжене­ров, имеющих дело с ЭВМ: прежде чем решать задачу, подумай, что делать с ее решением.

На самом деле положение с таблицей для решения уравнения (2) не такое уж печальное. Сделав подстановку получаем уравнение для и:

(3)

Выберем α и β так, чтобы между новыми коэффициентами имели место такие соотношения:

Отсюда находим

При такихуравнение (3) после деления на приобретает вид

(4)

Это уравнение содержит всего один параметр r. Таблицу решений уравнения (4) в зависимости от r уже нетрудно составить с помощью ЭВМ, даже если r придать не 50, а 5000 значений. В результате решение уравнения (2) можно будет найти с помощью построенной таблицы и(r), извле­чения корня (для чего потребуется еще одна таблица или микрокалькулятор) и простых арифметических действий по схеме:

Это, конечно, несравненно проще, чем применение таблицы с четырьмя или даже с тремя входами.