Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 101 )

Для нахождения стоячих волн подставим выражение (4) в (1). Получим

(5)

Однако переменные t, x независимы, поэтому последнее равенство может иметь место, только если оба частных равны постоянной. Далее мы увидим, что она должна быть отрица­тельной, поэтому обозначим ее -λ. Отсюда получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

как говорят, мы произвели разделение переменных. Из первого уравнения получаем

а из второго Обозначив

приходим к общему виду решения уравнения (1) типа стоячей волны:

(6)

где параметры остаются произвольными.

Мы предоставляем читателю проверить, что если частные в равенстве (5) положительны, то временной множитель при стремится либо к бесконечности либо к нулю.

Оба эти варианта противоречат закону сохранения полной энергии рассматриваемой колебательной системы.

С помощью суперпозиции решений вида (6) оказыва­ется возможным построить общее решение уравнения (1). Для этого, если стержень конечный, применяются суммы по дискретным значениям λ аналогично тому, как ранее было построено решение уравнения теплопроводности, а для бесконечного стержня применяются интегралы по λ. И для других линейных уравнений с частными производными, когда удается провести разделение переменных, обычно бывает возможно с помощью стоячих волн построить ре­шение при заданных добавочных условиях в виде суммы ряда или интеграла. Для нелинейных уравнений попытки постро­ения частных решений типа стоячей волны также могут оказаться полезными.

3.8.7. Фазовый портрет

Если математическая модель эво­люции некоторой реальной системы имеет вид автономной системы дифференциальных уравнений

(1)

(автономность означает, что в правые части не входит независимая переменная t), то для наглядного представления всех способов эволюции, т. е. множества всех решений, оказывается полезным фазовый портрет этой системы. Оста­новимся сначала на случае п = 2, когда система уравнений имеет вид

(2)

причем будем считать функциинепрерывными и обеспечивающими единственность решения задачи Коши для системы (2).

Будем истолковывать как декартовы координаты на плоскости, обозначим единичные векторы по соответствующим осям и введем обозначения (это радиус-вектор), Тогда систему (2) можно переписать в векторном виде

(3)

Истолковывая t как время, мы видим, что есть скорость точки с радиус-вектором r. Таким образом, уравнение (3), а потому и система (2) задает на плоскости (фазовой плоскости) стационарное поле скоростей. Его можно рассматривать для наглядности как поле скоростей плоского стационарного потока жидкости или лучше газа, так как с жидкостью обычно связывается свойство несжима­емости, которое здесь не требуется

При такой трактовке каждое частное решение системы (2) описывает закон движения какой-либо частицы газа. Каждому такому закону соответствует определенная траек­тория, т. е. линия, которую описывает частица в процессе движения. Обратно, каждой возможной траектории отвечает бесконечное число законов движения, различающихся лишь сдвигом во времени (ту же траекторию частица может проходить позже или раньше).

Задача Коши для системы (2) сводится к выяснению закона движения частицы, проходящей в заданный момент через заданную точку плоскости. В силу предположения о единственности решения этой задачи две различные трае­ктории не могут иметь общих точек, т. е. вся фазовая плоскость как бы расслаивается на траектории.

Имеются три основных вида фазовых траекторий: точки покоя, циклы и непериодические траектории.

Точкой покоя служит точка с координатами для которой постоянные функции образуют решение системы (2), т. е. для которой

Такой точке отвечает состояние равновесия рассматривае­мой реальной системы.

Цикл (говорят также — периоди­ческая траектория, замкнутая траектория) отвечает непо­стоянному периодическому решению системы (2), он описывает периодический процесс в реальной системе.

Не­периодические траектории — все остальные. Они могут существенно различаться по своему асимптотическому пове­дению как при так и при уходить на беско­нечность, стремиться к точке покоя, к циклу и т. д. Все эти способы поведения допускают реальное истолкование.

Рассмотрим несколько примеров. Уравнению свободных колебаний маятника без затухания после перехода к безраз­мерному времени можно придать вид

Чтобы перейти к системе уравнений вида (2), обозначим буквой ψ; тогда получим систему

(4)

Соответствующий фазовый портрет (совокупность всех траекторий на фазовой плоскости) показан на рис. 1,a.

Рис. 1

Он периодичен по φ с периодом так что достаточно огра­ничиться картиной между двумя штриховыми линиями, считая эти линии отождествленными, т. е. как бы свернув эту полосу в трубку. Другими словами, фазовым многооб­разием (Добавление, п. 5) здесь служит не плоскость, а цилиндрическая поверхность. На этой поверхности система имеет две точки покоя: (0, 0), отвечающую нижнему поло­жению, и (π, 0), отвечающую верхнему положению ма­ятника. Траектории типа 1 — циклы, отвечающие либрационным движениям (т. е. покачиваниям) маятника отно­сительно нижнего, устойчивого положения равновесия. Тра­ектории типа 2 непериодические (если рассматривать их на полной плоскости), им отвечают ротационные движения маятника, т. е. его вращения вокруг точки подвеса с не­ограниченным возрастанием фазового угла φ. Любопытна траектория, обозначенная цифрой 3; соответствующий ре­жим отделяет либрационные движения от ротационных и состоит в асимптотическом стремлении маятника к верхнему положению равновесия при Такой режим, очевидно, неустойчив.

В качестве второго примера рассмотрим осредненное уравнение свободных колебаний маятника без затухания с часто колеблющейся точкой подвеса. После перехода к системе уравнений первого порядка и введения безразмерного времени этой системе можно при­дать вид

(5)

где Пока k < 1, фазовый портрет этой системы примерно такой же, как у (4). Но когда k, возрастая, переходит через значение k=1, бывшая неустойчивая точка покоя (π, 0) становится устойчивой и от нее отделяются две вновь появившиеся неустойчивые точки покоя . (Качественное изменение свойств объекта при переходе параметра через некоторое значение называется бифуркацией этого объекта (от латин­ского слова «бифуркус» — раздвоенный). В данном примере значение k = 1 — точка бифуркации системы (5).) Соответствующий фазовый портрет показан на рис. 1, б. Мы видим, что появились траектории типа 4, которым отвечают либрационные движения маятника относительно его верхнего положения. Траектория типа 3 исчезла, взамен нее появи­лись траектории, обозначенные цифрами 5 и 6, им соответ­ствует асимптотический переход маятника из одного не­устойчивого положения в другое.

Рассмотрим, наконец, важный формальный пример системы

Если перейти к полярным координатам в плоскости х1, х2 по формулам то после преобразований, которые мы предоставляем читателю, мы получим систему уравнений при