Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 53 )

(28), (49)

т=0, ±1, ±2, …,±l – магнитное квантовое число.

Так как п r≥0 (пr =0, 1, 2, …) и п= п r+l+1, то l≤п-1 (l =0, 1, 2, …,п-1) и каждому значению l соответствует 2l+1 значений т. Заданному значению Еп энергии (заданному значению п) соответствует

различных собственных функций. Каждый уровень энергии имеет вырождение кратности п2.

Дискретный спектр отрицательных собственных значений энергии Еп состоит из бесконечного множества чисел с точкой сгущения в нуле.

Кроме отрицательного дискретного спектра существует также непрерывный спектр положительных собственных значений. В этом состоянии электрон уже не связан с ядром, но все еще находится в его поле (ионизированный атом водорода).

5. Свойство полиномов Эрмита.

Теорема. Всякая функция f(x) непрерывная и квадратично интегрируемая с весом ρ(x)= на всей бесконечной прямой R1, ортигональная с весом ρ(x)= всем полиномам Эрмита на R1 тождественно равнa нулю.

Доказательство.

В круге

(51), (52)

(53), (54)

(55)

Из доказанной теоремы и ортигональности полиномов Эрмита вытекает

Следствие. Система полиномов Эрмита исчерпывает все собственные функции краевой задачи на собственные значения для уравнения (12).

3.3. Аналитические функции как средства описания математических моделей

3.3.1. Поля значений параметров математических моделей

Приведем некоторые определения и теоремы.

Определение. Пусть k — поле. Абсолютным значением на k называется функция обозна чаемая которая удовлетворяет следующим четырем условиям:

причемв том и только в том случае, когда х = 0;

Примеры. (i) Положим

Топология потя k, определяемая этим абсолютным значением, дискретна.

Впредь мы будем иметь дело лишь с нетривиаль­ными абсолютными значениями, т. е. такими, что для некоторого

(ii) обычные абсолютные значения полей R и С;

(iii) если условие (4) заменить условием

то мы придем к так называемым ультраметрическим или не архимедовым абсолютным значениям.

Замечание. Условие (4') равносильно следующему условию: для любого отношениеε есть отношение эквивалентности. Предположим теперь, что поле k снабжено не­архимедовым абсолютным значением и относительно него является полным.

Теорема 1. Рассмотрим последовательность с Ряд сходится тогда и только тогда, когда .

Доказательство непосредственно вытекает из усло­вия (4') и определения полноты.

Теорема 2. (Островский) Пусть k — поле, полное относительно некоторого абсолютного значе­ния. Тогда либо k совпадает с R или С (и соответ­ствующее абсолютное значение имеет вид

либо данное абсолютное значение неархи­медово.

Пусть по-прежнему k — поле, полное относительно неархимедова абсолютного значения и пусть ρ — вещественное число, Определим v (х) формулойИмеем, очевидно,

Функцияудовлетворяющая указанным четырем условиям, называется нормированием поля k.

Примеры 1. Пусть — поле формальных степенных рядов от одной переменной Т, и пусть где при всех достаточно больших —п. Положим v (а) равным наимень­шему целому п, для которого Тогда

где Иными словами, соотношение равносильно равенству где bC[[T]].

Отметим, что-полное поле.

2. Пусть Q-поле рациональных чисел. Зафикси­руем простое число р. Любое число можно представить в виде где r и s - целые числа, не делящиеся на р. Полагая по определению мы получим так называемое р-адическое нормирова­ние поля рациональных чисел.

Пополнение поля Q по р-адической метрике обо­значается через Qp и называется полем р-адических чисел.

Очевидно, что (в р-адической топологии) тогда к только тогда, когда

где

и

Определение. Пусть k - поле и v - его нор­мирование. Множество

является кольцом и называется кольцом нормирова­ния v.

Пример. Пусть Кольцо его р-адического нормирования есть не что иное, как кольцо Zр целых р-адических чисел.

Для каждого действительного числа рассмотрим множества

которые, как легко видеть, являются идеалами кольца В частности, приидеал

максимален; поле называется полем вычетов нормирования v.