Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 28 )

сигнатуре, предикаты которой определены на объединении из декартовых квадратов. В дальнейшем изложении мы будей довольствоваться самой по себе принципиальной возможностью такого формального сведения и придерживаться более содер­жательной (и естественно интерпретируемой) терминологии, варьирующей определения настоящего параграфа). Таким образом, это объединение даже не фигурирует явным образом ни в каких утверждениях как некий новый «объект рассмо­трения», и «введение» этого «объекта» является чисто но­минальным (если не проводить, конечно, последовательной реконструкции определений в духе предыдущего примечания, что, как уже говорилось, представляется ненужным именно ввиду «непринципиального» характера такой реконструкции (существенного расширения выразительных средств мы при помощи таких легко элиминируемых пополнений языка не получаем, но заметно теряем в удобствах, присущих «естественному» словоупотреб-лению).

Если же рассматриваемые множества пересекаются (в частных случаях включают одно другое или даже совпадают, как, например, при эндоморфизмах), то отождествить предикаты, определенные на этих множествах, можноо лишь ценой мало естественных дефинициональных ухищрений, чреватых опасностью двусмысленности.

Но действительная причина, по которой мы не стали в общем случае отождествлять предикаты, определенные на множествах, находящихся между собой в отношении изоморфизма (или гомоморфизма), состоит даже не столько в том, что эти носящие весьма общий, «естественнонауч­ный» характер понятия пришлось бы эксплицировать несколько неестественным, вычурным образом, а в том, что этот путь не дал бы нам возможности обсудить неко­торые напрашивающиеся обобщения введенных понятий. Предварительному (содержательному) обсуждению этих возможных обобщений и будет посвящен излагаемый ниже материал.

2.6. Последовательные усложнения схемы

Обратимся вновь к содержательным представлениям экспликациями которых явились описанные выше понятия.

Рассмотрим прежде всего картину coответствия, послужившую в известном смысле исходной для формирования этих представлений,— соответствия между некоторым множеством предметов и их совместным изображением на фотографии. На этом примере — в за­висимости от некоторых дополнительных предположений относительно фотографируемого объекта и способа фото­графирования, которые мы каждый раз будем специально оговаривать,— можно проследить реализации и уже уточ­ненных понятий изоморфизма и гомоморфизма, и их даль­нейших обобщений.

1. Пусть для начала фотографируемый объект сам представляет собой плоскую графическую схему, состоя­щую из совокупности черных «фигур» на белом фоне. Спо­соб изготовления этого «оригинала» для нас совершенно несуществен (это может быть в свою очередь фо­тография, для которой какой-то другой рисунок, чертеж или текст играл роль «оригинала»), так же как и материал «фона». Не интересует нас и «природа» подлежащих фото­графированию «фигур»; каждая из них воспринимается не как «множество точек» (что само по себе было бы продуктом далеко идущей абстрак­ции), а именно как единый нерасчлененный и нерасчленяемый «объект» — «элемент системы». Таким образом, никаких «составных частей» ни одна из этих «фигур» сейчас для нас не содержит; скажем, «фигура», графически тождественная с буквой «Р», вовсе не воспринимается как «часть» «фигуры» «В» — это два разные знака, только и всего. Конечно, среди наших «фигур» могут оказаться и конгруэнтные, но мы их не только не будем пока отождест­влять ни в каком из смыслов этого слова (считая «разными экземплярами» одной и той же «фигуры»), но, вообще говоря, не обязаны считать этот вид «равенства» в каком-либо смысле «основным» (по сравнению с другими рефлек­сивными, симметричными и транзитивными отношениями). (Можно вообще не говорить в этом и подобном ему случаях ни о каких двуместных предикатах эквива­лентности, ограничиваясь рассмотрением некоторой сис­темы попарно несовместимых одноместных предикатов, вроде «быть круглым», «быть треугольным», «иметь форму трехгорбого верблюда» и т. п., относительно кото­рых можно затем было бы говорить и об изоморфизме и гомоморфизме.) Мы абстрагируемся сейчас (как и во всех аналогичных случаях) от таких факторов, как отсутствие четко локализованных «границ» у наших «фигур», неоднородности краски и бумаги, факти­ческая неодинаковость написания номинально одинаковых символов и т. п., короче говоря, не претендуем на «анализ» структуры самих по себе «фигур», такт как сами по­стулировали их «неанализируемость».

Сравним сейчас наш «оригинал» с его контактным (т. е. в натуральную величину) отпечатком на фотобума­ге — отпечатком, все детали которого (с точностью до погрешностей установки, неоднородностей эмульсии и т. п. «микроскопических» факторов) конгруэнтны со сво­ими прообразами (т. е. совпадают с ними при наложении, результатом которого они и являются). Что можно сказать об этой паре «оригинал»—«модель»? Ясно, что относительно любых чисто геометрических предикатов, определенных (или хотя бы могущих быть определенными) на рассматриваемых «картинках», эти «картинки» изо­морфны. (Понятно, что к таким «геометрическим преди­катам» никоим образом не относится положение самой «картинки»: для него (положения) «картинка» является не областью определения, а аргументом!)

Можно было, казалось бы, к сказанному добавить, что «картинки» наши еще изоморфны относительно цветов своих (черных) элементов, поскольку «фон» на обеих бе­лый. Но такое утверждение, как нетрудно видеть, совер­шенно бессодержательно. Ведь «фон» вообще не является «элементом» ни одной из «картинок» (играя в них, по сути дела, ту же роль, что отводилась в прежних электро­магнитных теориях «эфиру» — роль, которая ныне с не­меньшим успехом отводится «пустоте») —не считаем же мы доску, на которой выписываем символы какого-либо ло­гического исчисления, самостоятельным «символом» этого исчисления, а бумагу, на которой напечатана книга, частью ее текста (все дело здесь в том, что мы заранее умеем отличать «элементы» от «фона». Для перцептрона или любого другого читающего устройства это различие, если и верно, то отнюдь не тривиально, и, скажем, запись нор­мального алгоритма должна предусматривать, в слу­чае необходимости, операции над «пустым словом» (то есть именно над тем, что мы до сих пор считали просто «фоном»).) Так что говорить здесь о «цветовом изоморфизме» примерно столь же (хотя и не в меньшей мере) осмысленно, как, скажем, о том, что дети млекопи­тающих наследуют от своих родителей трехмерность. Цвет одноцветных значков, трехмерность детенышей мле­копитающих (так же как, по всей вероятности, и земно­водных) — все это примеры свойств, выполняемых для всех элементов рассматриваемых предметных областей, и относительно любого такого тождественно-истинного предиката 48 понятие изоморфизма просто совпадает с понятием взаимно-однозначного соответствия: «удовлетворять предикату, истинному для всех элементов данного множества» есть, по определению, свойство, имеющее место для всех элементов данного мно­жества, и именно к подобным трюизмам сводится содер­жание любого утверждения об изоморфизме относительно пары каких-либо тождественно-истинных на рассматривае­мых множествах предикатов.

(В качестве одноместного предиката, тождественно-истинного на произвольной области, часто выбирают «самотождественность» ) «Усложнение» рассматриваемой ситуации за счет того, что «модель» печатается каким-нибудь одним цветом, от­личным от цвета «оригинала» (но по-прежнему в одну краску) также, очевидно, оказывается чисто номинальным: «краснота красного», например, столь же тождественно-истинна, как, скажем, «чернота черного». (Несуществен­ность изменения цвета одного или обоих «фонов» вряд ли нуждается в дополнительном комментировании.)

2. Представим теперь себе некоторое усложнение вида «оригиналов». Пусть, скажем, составляющие его и подле­жащие фотографированию символы (мы пока по-прежнему считаем их одноцветными) расположены на нескольких прозрачных плоских пластинах, параллельных друг другу и плоскости изображения и перпендикулярных парал­лельному пучку проектирующих лучей. Изображения по-прежнему будут конгруэнтны своим прообразам, и по-прежнему каждый элемент получит единственное изобра­жение. Но теперь, вообще говоря, уже нельзя утверждать, что каждый элемент фотографии есть изображение неко­торого единственного прообраза — взаимная однознач­ность отображения нарушается, так как две или более конгруэнтных фигуры могут оказаться сечениями одного и того же прямого цилиндра, перпендикулярного плоско­стям проекций.

Имея в виду, как и в п. 1, лишь двумерные геометрические соотношения между элементами «оригинала» (т. е. объединения проектируемых плоскостей) и «модели» (иначе говоря, не принимая в расчет расстояния прообразов от плоскости изображения), мы увидим, что относительно этих соотношений изображение есть гомоморфный образ «оригинала». («Классическую» вариацию описанной здесь картины представляет собой понятие «небесного свода», которое можно мыслить, например, как результат цен­трального проектирования всех видимых для данного на­блюдателя звезд, расположенных, вообще говоря, на раз­личных концентрических сферах, в общем центре которых находится наблюдатель, на любую сферическую поверх­ность с тем же центром. ( В том числе, конечно, и на любую из тех сфер, на которых рас­положены сами звезды. Это же замечание полностью относится и к примерам, описанным в пп. 1 и 2: в первом случае мы имели бы тождественный автоморфизм, во втором (допустив проектиро­вание двумя встречными пучками) — эндоморфизм, переводящий «фигуры», изображенные на различных пластинах, на одну из пластин.

3. Непосредственным обобщением предыдущей ситуа­ции можно считать картину, получаемую при фотографи­ровании произвольных объемных (но все еще пока одноцвет­ных) объектов: изображение на пленке или фотографии есть в этом случае проекция бесконечного (континуаль­ного, если, конечно, отвлечься от молекулярной структу­ры «оригинала», не говоря уже о пределах разрешающей силы фотографирующего устройства и еще более грубых ограничениях, связанных с зернистостью фотоэмульсии) множества «мысленных плоских сачений» изображаемой совокупности объектов, причем, как и в случае, разби­равшемся в п. 2, отображение будет однозначным лишь в одну сторону, так как «задние» «сечения» будут на сним­ке, как правило, «заслоняться» «передними».