Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 36 )

«Метаморфизмы», не выделяемые в качестве специаль­ных объектов рассмотрения в алгебре, вполне естествен­но возникают при анализе теоретико-познавательных за­дач, являясь в той же мере более общим их атрибутом, нежели гомоморфизмы, в какой гомоморфизмы служат обобщениями изоморфизмов. Не ставя своей целью обо­зрение как можно большего количества соответствующих примеров, отметим, что неоднократно обыгрывавшийся уже выше эффект «огрубления при фотогра­фировании», описанный нами в терминах объединения классов эквивалентности («дополнительной факторизации»), может быть трактован и как метаморфизм, «склеивающий» в одно бинарное отношение различные отношения порядка: пары «крас­ный — желтый», «синий — голубой», «коричневый —желтый», «зеленый — голубой», «красный — оранжевый» и т. п. переходят (каждая) в пару «темный — светлый» (точнее, «более темный, чем...»). Не нуждается в особых комментариях тот очевидный факт, что в этом примере ограничение о непересечении исходных предметных областей уже недействительно, чем и достигается обещанное обобщение. Ясно и то, что не каждый набор предикатов может быть непротиворечивым образом отображен в не­который предикат с тем же числом аргументных мест (точнее, того же ранга); но сущность ограничений, необ­ходимых для избежания такого рода коллизий, интуитив­но столь очевидна, а корректная формулировка их, напротив, столь громоздка, что мы не будем пытаться приводить их здесь.

Идея предыдущего примера легко может быть развита и в применении к трехместным предикатам. Пусть на множестве прообразов некоторого однозначного отобра­жения (быть может, хотя и необязательно, взаимно­однозначного) определено т (т≥2) трехместных преди­катов Pi (х, у, z), каждый из которых может быть со­держательно интерпретирован как «у лежит между х и z» (любой такой предикат может быть охарактеризован акси­оматически при помощи аксиом второй группы гильбертовской аксиоматики для евклидовой геометрии. На множестве образов каждый из них может непротиворечивым образом переходить в один и тот же трехместный предикат (удовлетворяющий тем же аксиомам). От достаточно очевидной интерпрета­ции такого рода отображений и дальнейшей детализации примеров нам придется воздержаться.

Возможна, конечно, и другая точка зрения на взаимо­отношение рассматриваемых понятий, связанная с пред­ставлением о предикатах как «объектах второго типа» (или «уровня», «ступени»). С такой точки зрения гомоморфизм можно понимать как однозначное отображение совокупности объектов первого типа, «устойчивое» (или «стабильное», «инвариантное») по отношению к тождест­венному автоморфизму совокупности объектов второго типа; в случае метаморфизма вместо тождественного авто­морфизма следует говорить также об однозначном отоб­ражении, инвариантном относительно истинностных значений («истина» и «ложь»).

Но в таком случае нельзя не упомянуть и возможность обобщения понятий гомомор­физма (и, конечно, метаморфизма) для совокупностей предикатов произвольной ступени (относительно преди­катов высших ступеней, в частности ступени, ровно на единицу высшей, чем данная).

Еще одно замечание относительно «метаморфизмов». Если не считать тривиального (хотя и не раз использован­ного выше для иллюстраций) случая, когда предикат-образ есть просто объединение (или, что по существу то же самое, изоморфный образ объединения) предикатов-прообразов, произвольный метаморфизм некоторой систе­мы А на систему В индуцирует на В некоторое отношение между предикатами (предикат второго порядка). Это отношение, по аналогии с соответствующим отношением, индуцируемым произвольным гомоморфизмом, можно было бы назвать ядер­ной эквивалентностью, или ядерной конгруэнцией, пре­дикатов из А, имеющих один и тот же образ в В (быть может, для определенности стоило бы говорить об «обоб­щенной ядерной эквивалентности» или об «эквивалент ности второго порядка» и т. п.). Если бы условия ста­бильности (или согласованности), определяющие данный метаморфизм, имели вид эквивалентностей, то значения исходных предика­тов, находящихся между собой в описанном отношении, должны были бы просто совпадать для всех наборов аргу­ментов, для которых они совместно определены (в против­ном случае условия, определяющие данный метаморфизм, были бы несовместимы), так что вместо обобщенной ядер­ной эквивалентности можно было бы говорить с тем же успехом (и более определенно) о самой обычной логиче­ской эквивалентности, а понижение мощности сигнатуры оказалось бы чисто номинальным. Но раз мы предпочли при определении гомоморфизма избрать более обычный путь, при котором условия стабильности имеют вид импликаций, то совершенно тривиаль­ным образом оказывается возможным указать предикаты, ядерно эквивалентные в указанном выше смысле, но логически не эквивалентные. Таким образом, понятие метаморфизма действительно оказывается шире понятия гомоморфизма.

3. Отказ от взаимной однозначности изоморфного отоб­ражения приводит к понятию гомоморфизма; отказ от взаимной однозначности соответствия между сигнатура­ми, при соблюдении условия совпадения рангов предикатов-прообразов и предикатов-образов, означает переход к еще более общему понятию отображения, кото­рое выше было названо метаморфизмом. Нельзя ли еще более обобщить это понятие, отказавшись теперь от по­следней взаимной однозначности между наборами аргу­ментных мест (с фиксированными типами аргументов)? Никаких априорных запретов на этот счет во всяком слу­чае не видно. Если же мы захотим (следуя общей схеме изложения в настоящем параграфе) указать пример си­туации, для описания которой подобного рода «параморфизм» оказался бы подходящим орудием, то сделать это даже легче, чем в случае метаморфизма. Описанием пары таких примеров мы и закончим содержа­тельные рассмотрения настоящего параграфа, чтобы вернуться к соответствующим точным определениям и проанализировать их с различных точек зрения в п. п. 2. 9 и 2.10.

Наиболее типичными ситуациями такого рода пред­ставляются всевозможные «упрощения оценок», происхо­дящие с теми или иными вариациями по следующей схеме.

Представим себе предприятие, выпускающее продукцию нескольких наименований, цена которой определяется рядом различных, вообще говоря, не зависящих друг от друга (во всяком случае, явным образом) факторов: стоимостью материалов, амортизацией оборудования, за­работной платой рабочих, сметно-проектировочными рас­ходами, износом инструментов, потреблением электроэнер­гии, стоимостью ремонтных, вспомогательных (по обслу­живанию) и непроизводственных работ и т. д. Вне зави­симости от того, насколько разумно выбраны и учтены эти факторы и насколько совершенна методика их сбора, оценки и последующей обработки, задача максимального упрощения всей этой методики уж заведомо разумна. Примером такого упрощения (сведения) техники ценооб­разования (вопрос о практической «научности» которого нас в данном случае сам по себе не интересует) может служить практика, согласно которой цена готового изде­лия определяется всего тремя факторами: стоимостью материалов, заработной платой и «накладными расходами» (причем отнесение факторов из первоначального перечня к одной из этих трех «рубрик» определяется дополнитель­ными соглашениями и может варьироваться).

Конечно, математик (да и физик) скажет в таком случае, что здесь мы имеем дело со «сложной» функцией: три переменные, являющиеся ее аргументами, в свою очередь являются функциями других величин (часть ко­торых может, вообще говоря, служить аргументами более чем одной «промежуточной» переменной), так что называя нашу функцию (цену) «функцией трех переменных», мы просто употребляем «сокращенный способ выражения». На это можно было бы, однако, ответить прежде всего, что всякий «способ выражения» является «сокращенным», а что же касается вообще того или иного способа выраже­ния, то он уж во всяком случае определяется субъектив­ными соображениями исследователя не в меньшей сте­пени, нежели какими бы то ни было объективными фак­торами.

Впрочем, и с чисто формальной математической точки зрения «склеивание» аргументов того типа, как в только что приведенном примере, не сводится к тавтологическо­му переобозначению, приводящему к появлению «скрытых» аргументов функции. Дело в том, что простое переимено­вание переменных (даже если оно сопровождается их частичной «маскировкой») всегда предполагает возмож­ность «декодирования», позволяющего вернуться к исход­ному представлению функции; иными словами, если посредством такого преобразования удается «сократить» некоторое «сообщение» (не существенно, какова природа факта, описываемого данным «сообщением»), то механизм этого «сокращения» таков, что всегда можно восстановить и исходное «сообщение». Но для анализа процесса познания и для конкретных наук такая роскошь ни к чему: если из краткого сообщения можно извлечь всю интересующую нас информацию о некотором фрагменте действительно­сти, то тем лучше, и не все ли равно, какими менее совер­шенными (более многословными) способами можно было бы добиться той же цели. Коперниковская космология не нуждается в алгоритме перевода ее в птолемеевскую; молекулярно-кинетической теорией может пользоваться че­ловек, не подозревающий о существовании термина «фло­гистон».

Между аргументами любого предиката, переходящими (в результате некоторого параморфизма) в один и тот же аргумент некоторого предиката меньшего, чем исходный, ранга (и служащего его образом при этом отображении), индуцируется (этим же отображением) определенное от­ношение, вполне аналогичное отношениям, индуцируе­мым между элементами смежных классов, т. е. классов эквивалентности, при гомоморфизмах и между предиката­ми, имеющими общий образ, при метаморфизмах: будучи, очевидно, рефлексивным, симметричным и транзитивным, оно является отношением эквивалентности, и связанные им объекты для «наблюдателя», черпающего «информацию» только из «редуцированных» описаний, оказываются не­различимыми (потому-то естественные (канонические) отображения произ­вольных алгебр на свои факторалгебры и называют часто «отождествлениями»). Последнюю фразу, впрочем, не следует понимать как утверждение о некоем «объективном равноправии» этих «отождествляемых» аргументов — в общем случае ника­кого «равноправия» их, кроме неразличимости при данном описании, нет, хотя иногда они становятся равноправными и по существу. Скажем, утверждение о равенстве координат двух точек в трехмерном евклидовом пространстве, зависящее от шести переменных, может быть без всякой «потери информации» заменено векторным равенством (двуместным предикатом); но уже в более общем выражении для расстояния между двумя точками (когда это расстояние не равно нулю) из векторного соот­ношения, являющегося результатом однозначного преоб­разования совокупности трех координатных соотношений, нельзя получить ни одного из исходных соотношений.