Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 49 )

Модель многоступенчатой ракеты.

Пренебрегаем сопротивлением воздуха, гравитацией.

1) Одноступенчатая ракета.

— скорость истечения продуктов сгорания топлива (относительно Земли)

v(t) — скорость ракеты (относительно Земли)

m(t) — масса ракеты

Закон сохранения импульса:

Максимальная скорость при полном сгорании топлива (формула Циолковского):

тр — полезная масса (масса спутника)

ms — структурная масса (топливных баков, двигателей, систем управления ракетой и т. д.)

При

2) Многоступенчатая ракета.

тi — общая масса i-й ступени

— структурная масса i-й ступени

— масса топлива i-й ступени

λ, и — одинаковы для всех ступеней.

Пусть израсходовано все топливо первой ступени. По форму­ле Циолковского скорость равна:

После отброса структурной массы включается вторая ступень. Масса ракеты в этот момент После выгорания топлива второй ступени скорость равна:

а после отброса структурной массыи включения двигателей третьей ступени равна

При т=3 получаем

где

Максимум достигается при

Для т=3:

Для п ступеней:

Приполучаем

3.2. Примеры некоторых классических задач математической физики

3.2.1. Задача с данными на характеристиках (задача Гурса).

Простейшая задача Гурса

(1)

(2)

(3)

Пусть решение задачи (1)-(3) существует. Поучим его явное представ­ление через входные данные. Проинтегрируем (1) по прямоугольнику

(4)

Из формулы (4) следует единственность решения задачи (1)-(3). В предположении дифференцируемости функций и непрерывности функции f(x,y) из формулы (4) следует существование решения.

Рассмотрим общую задачу:

(5) (6) (7)

где— гладкие функции.

Обозначим

Тогда

(8) где

Введем интегро-дифференциальный оператор А:

Уравнение (8) запишем в виде

(9)

интегро-дифференциального уравнения Вольтерра. Метод последова­тельных приближений:

(10) ПоложимТогда

(11) Из (11) следует:

(12)

Докажем равномерную сходимость последовательностей

ПустьИз (11), (12) следует:

(13)

Предположим, что в квадрате

(14)

где — положительные константы.

Из (13), (14) следуют мажорантные оценки:

По индукции: для любогополучаем

где

Так как

(15)

В правой части (15) с точностью до множителей пропорциональности стоят общие члены разложения Следовательно, последовательность функций

равномерно сходятся к предельным функциям

Перейдем в формулах (11), (12) к пределу

(16)

Отсюда следует, что и удовлетворяет уравнению (9). Непосредственным дифференцированием устанавливается, что и(х, у) удовлетворяет (5). Удовлетворение условиям (6) следует из (7), (9) и вида

Доказательство единственности решения задачи (5)- (7) (от против­ного):

Пусть— два решения. Рассмотрим

Из (14) следует

Придля любого п

(17)

Из (17) следует, что

— противоречие.

3.2.2. Общая задача Коши. Функция Римана

1. Функция Римана

Рассмотрим задачу:

Кривая С – бесконечно гладкая кривая, делящая плоскость (х, у) на две криволинейные полуплоскости и и удовлетворяющая условиям: