Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 69 )

Доказательство. Импликации и очевидны. Докажем, что

Поскольку Y1 и Y2 — подмногообразия в X, можно (урезав, если надо, пространство X) найти такие корегулярные морфизмы

чтоУсловие (1) показывает, что отображение корегулярно в точке х. Это позволяет отождествить координаты произведения с частью локальных координат в точке х. Следовательно, Теорема доказана.

Если Y1 и Y2 удовлетворяют одному из эквива­лентных условий предыдущей теоремы, то гово­рят, что подмногообразия Y1 и Y2 трансверсальны в точке х.

Следствие. Пусть подмногообразия Y1 и Y2 трансверсальны в точке х. Тогда

(1) Y1 и Y2 трансверсальны в некоторой окрест­ности этой точки,

(2) пересечение является локальным под­многообразием многообразия X в точке х;

Д. Трансверсальные морфизмы. Рассмотрим пару морфизмов Положим

Это множество называется расслоенным произведе­нием Y1 и Y2 над X. Положим

где

ограничение отображения

(см. диаграмму).

Пусть и пусть Будем говорить, что морфизмы f1 и f2 трансверсальны в точке если

Теорема 6. Пусть морфизмы f1 и f2 трансвер­сальны в точке у. Тогда

(1) морфизмы f1 и f2 трансверсальны в некото­рой окрестности точки у в

(2) множество в точке у является локаль­ным подмногообразием в Y1 × Y2;

Набросок доказательства. Положим и Обозначим через отображение и положим

Теорема вытекает из следующих трех утверждений:

а) морфизмы являются изоморфизмами многообразия Y на подмногообразия в Y × X;

б) подмногообразия трансверсальны в точке

Подробности предоставляем читателю.

Замечания. 1. Если хотя бы одно из отображе­ний fi нерегулярно, то морфизмы f1 и f2 всюду транс­версальны.

2. Если в описанной выше ситуации f1 есть вло­жение подмногообразия Y1 в многообразие X и если f1 и f2 трансверсальны в точке у, то мы будем говорить, что морфизм f2 трансверсален над Y1 в точке у.

3.5.12. Конструирование многообразий. Фактормногообразия

Пусть X — многообразие и — некоторое отношение эквивалентности. Обозначим через множество классов эквивалентности относительно R и через—каноническую проекцию. Снабдим множество обычной фактортопологией.

Именно: множествооткрыто в том и только в том случае, если множество открыто.

Теорема 1. Если в пространстве сущест­вует структура аналитического многообразия, отно­сительно которой отображение р является корегулярным морфизмом, то такая структура единственна.

Доказательство. По лемме 2 из п.3.5.11 множество для любого многообразия Z зависит лишь от аналитической структуры пространства X. Следовательно, по теореме 1 из п.3.5. 11 структура мно­гообразия на факторпространстве определена однозначно, ч. т. д.

Если ситуация, описанная в предыдущей теореме, имеет место, то мы называем пространство фак­тор многообразием (или просто многообразием), а от­ношение R — регулярным отношением эквивалент­ности.

Теорема 2. Следующие условия эквивалентны:

(1) отношение R регулярно (т. е. —многооб­разие;

(2) (a) R — подмногообразие в

— корегулярный морфизм.

Доказательство Пусть выполнено условие (1). Покажем, что тогда выполнено условие (2). Рассмотрим диаграмму

Очевидно, множество R совпадает с Поскольку отображение р корегулярно, множество R является подмногообразием в (см. теорему 6 из п.3.5.11 и замечание 1). Далее, если и то

Последнее равенство, в частности, показывает, что отображение сюръективно, и, следовательно, ограничение проекции рr2 на R — корегулярный морфизм.

Для удобства доказательство этой импли­кации будет представлено в виде последовательно­сти лемм.

Пусть U — подмножество в X. Положим Напомним, что подмножество называется насыщенным относительно отношения экви­валентности R, если

Л е м м а 1. Пусть где каждое подмножество Ui открыто и насыщено в X, причем факторпространство — многообразие. Тогда также является многообразием.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию все отображе­ния корегулярны. Поэтому для любых двух индексов структуры аналитических мно­гообразий, индуцированные многообразиями и на совпадают (теорема 1). На множестве имеется, следовательно, единст­венная структура многообразия, согласованная с за­данными структурами на множествах Нако­нец, отображение р корегулярно, так как для всех i ограничение является нерегулярным морфизмом.