Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 76 )

Прикладные математические задачи можно условно под­разделить на два класса. В задачах одного класса речь идет об исследовании свойств заданного объекта — это задачи анализа. Задачи другого класса имеют целью выбор объекта из некоторой совокупности на основании каких-то требо­ваний — это задачи синтеза. (Термин «задачи синтеза» применяется и в более специальном смысле; в частности, в теории систем управления он означает задачу о построении такой системы, имеющей предписанное функционирование на основе применения обратной связи.) Конечно, это под­разделение условно, так как многие задачи можно в равной мере отнести как к одному, так и к другому классу. Однако из содержательной постановки задачи чаще всего бывает ясно, о задаче какого класса идет речь.

Для задач анализа математическая модель обычно сводится к уравнениям того или иного вида. О различных типах уравнений, которые встречаются в приложениях ма­тематики, мы поговорим дальше.

Математическая мо­дель задачи синтеза тоже может свестись к решению урав­нений, если условия, на основании которых требуется вы­брать объект, имеют вид некоторых равенств. Но часто условие выбора имеет другой характер: для выбираемого объекта некоторая заданная скалярная функция его пара­метров (целевая функция) должна принять наименьшее или наибольшее возможное значение. Тогда математическая мо­дель сведется к задаче на экстремум. О типах таких задач будет сказано ниже.

3.6.4. Основные компоненты математических моделей

Согласно предлагаемому подходу математическая модель объекта является основной исходной информацией, на базе которой производится формирование модулей математических моделей. При этом, учитывая инвариантный характер выявленных проце­дур формирования, для разработки методов и алгоритмов их реали­зации математическая модель должна быть представлена в фор­мализованном виде, отражающем тот факт, что каждая конкрет­ная модель может быть представлена в виде ППП модульной струк­туры.

Напомним, что под математической моделью понимают совокупность пере­менных, описывающих моделируемый объект и связей между этими переменными.

Под переменными математической модели понимают числа, векторы, функции, с помощью которых определяется моделируе­мый объект. Набор переменных модели будем обозначать через а каждую конкретную реализацию модели — задавать Nр-мерным вектором (где Nр —

общее число переменных;— значения компонент вектора а).

Под связями математической модели понимают совокупности отношений, связывающих значения отдельных групп переменных модели. Основными видами связей, используемых в математиче­ских моделях, являются отображение и отношение порядка.

Отображения описывают некоторую совокупность свойств мо­делируемого объекта и его взаимодействия с внешней средой. Они реализуются оператором, обозначаемым в дальнейшем через Ф:

(1)

При этом переменныеназывают аргументами или входами мо­дели, а λ — ее значениями или выходами.

Отношения порядка, обозначаемые в дальнейшем Ψ, описы­вают, как правило, условия существования (допустимого) моде­лируемого объекта. Эти условия практически всегда могут быть приведены к виду

(2)

определяющему отношения порядка между отдельными компо­нентами вектора переменных. В частности, в тех случаях, когда ограничения на переменные модели заданы в виде изопараметрических неравенств, переход к отношениям (2) возможен путем определения левой части ограничений как отображения со значе­ниями, присутствующими в отношениях порядка.

В связях, определенных отношениями порядка, присутствуют обычно переменные, которые имеют смысл допустимых верхних или нижних пределов изменения значений переменных, описы­вающих объект. Эти переменные, в большинстве своем, носят характер директивных или нормативных данных. Простейшими примерами такого рода отношений могут служить или определяющие допустимость некоторых решений из условий прочности и надежности, соответственно (где — допустимые напряжения; — требуемый уровень надежности). С учетом сказанного при представлении математиче­ской модели объекта можно ограничиться рас­смотрением только связей-отображений, полагая при этом, что их переменные в процессе функционирования ПМ могут быть как фиксированы, так и ограничены.

Неотъемлемым атрибутом модели являются ее области опре­деления X и значений Λ, пара которых задает область применения модели т. е.

В итоге математическая модель объекта в це­лом (будем называть ее исходной моделью — М) может быть представлена в виде

(3)

Известно, что модель М, имеющая в качестве выхода вектор λ, может быть представлена в виде совокупности из моделей-отображений со скалярными выходами где — размерность вектора λ. Такие модели будем называть скалярными.

При программной реализации математической модели в каче­стве самостоятельной единицы (прикладного программного мо­дуля) используются подмодели, являющиеся блоками различной размерности, составленные из скалярных моделей (модулей). В дальнейшем такого рода блоки будем называть элементарными моделями и обозначать буквой т.

Каждая j-я элементарная модель может быть представлена в виде, аналогичном выражению (3):

(4)

а компоненты исходной модели могут быть записаны через ком­поненты элементарных моделей следующим образом:

где — проекция множества на гиперплоскость, координатами которой являются компоненты вектора — число элементарных моделей в исходной модели.

Будем называть модель М связной, если для каждой совокуп­ности элементарных моделей найдется модель такая, что векторы Р' и пересекутся, т. е.

При невыполнении этого условия модель М называется несвязной. Она может быть представлена в виде ряда связных подмоделей, каждая из которых допускает автономное рассмотрение.

Особо отметим такую характерную особенность математиче­ских моделей, как разрывность их связей, под которой понимается наличие в них конечного числа точек разрыва, где возможны изменения как оператора, задающего связь, так и состава содер­жащихся в этих связях переменных.

Отметим, также, что часть аргументов связей модели может не входить непосредственно в левую часть отношений, а присут­ствовать лишь в задании области определения. Поэтому пред­ставляется целесообразным различать явные и неявные аргументы связей модели. Под явными аргументами понимают аргументы, непосредственно входящие в левую часть отношения, а под неяв­ными — аргументы, фигурирующие только в задании области

Можно привести аналогичные примеры с непрерывными не­явными аргументами. В частности, при расчете ряда аэродинами­ческих характеристик ЛА в используемых моделях отсутствует в числе явных аргументов переменная «удлинение крыла», в то время как значения этих характеристик определяются различ­ными формулами для крыльев малого, среднего и большого удли­нений.

Путем введения в состав неявных аргументов таких характе­ристик моделей, как трудоемкость, обеспечиваемая точность вы­числений и т. п., можно «развязать» модели, имеющие общие выходные переменные, т. е. считать, что в составе исходной модели отсутствуют элементарные модели с пересекающимися областями применения и выходными переменными. Далее предполагается, что такая возможность реализована и модель М обладает свойством:

В таком случае каждая разрывная модель может быть представ­лена в виде совокупности непрерывных моделей с непересека­ющимися областями применения.

Заметим, что обычно задание областей определения связей модели дискретными переменными производится фиксацией их конкретных значений, а задание этих же областей непрерывными переменными — путем определения диапазонов изменения таких переменных. Несложно проследить связь между введенным ранее понятием «концепция» и областями применения математиче­ских моделей. Концепцию теперь можно определить как совокуп­ность решений, математические модели которых имеют непрерывную область