Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 84 )

Наиболее широко в приложениях математики использу­ются дифференциальные уравнения. (Если хотят подчерк­нуть, что искомой является функция одного аргумента, то говорят: обыкновенные дифференциальные уравнения.) Дифференциальное уравнение порядка п в стандартной фор­ме, т. е. разрешенное относительно старшей производной искомой функции, имеет в общем случае вид

(1)

При этом независимую переменную (здесь 0 удобно тракто­вать как время; кстати, в приложениях она чаще всего таковым и является. (Впрочем, нередки и случаи, когда она имеет смысл геометрической координаты или — реже — ка­кой-либо иной смысл.)

Как известно, общее решение уравнения (1) включает п произвольных постоянных, и потому, чтобы выделить конкретное частное решение, надо задать еще п конечных уравнений (так называемых добавочных условий), связыва­ющих значения искомой функции и и ее производных в некоторых точках. Если (1) рассматривается как урав­нение, определяющее развитие некоторого процесса во вре­мени, то чаще всего добавочными служат начальные условия

фиксирующие состояние рассматриваемого процесса в на­чальный момент t0. Если независимой переменной служит геометрическая координата, а искомая функция строится на некотором интервале, то чаще применяются краевые ус­ловия, в которых какое-то число k условий задается на левом конце этого интервала, а п — k — на правом (обычно в таких случаях п четно и Встречаются и добавочные условия иного вида. Дифференциальное уравнение вместе с начальными (соответственно, краевыми) условиями называется задачей Коши (соответственно, кра­евой задачей).

Аналогичный вид имеют системы дифференциальных уравнений с несколькими искомыми функциями, число ко­торых должно равняться числу уравнений. Каждую такую систему (а потому и уравнение (1)) легко с помощью введения новых искомых функций свести к системе урав­нений первого порядка, что довольно часто делают. (Так, для уравнения (1) достаточно обозначить

Это приводит к системе уравнений первого порядка

равносильной уравнению (1).)

Систе­ма первого порядка размерности п в стандартной форме имеет в общем случае вид

Для выделения частного решения должно быть указано еще п добавочных условий. Так, начальные условия имеют вид

Система дифференциальных уравнений, описывающая эволюцию механической системы под действием внешних и внутренних сил, должна, как правило, содержать столько независимых уравнений второго порядка, сколько эта систе­ма имеет степеней свободы. Если совершается переход к фазовым координатам, то урав­нения оказываются первого порядка, а их число удваивается. Таким образом, значение числа степеней свободы механиче­ской системы позволяет проконтролировать полноту ее ма­тематической модели. (По поводу числа степеней свободы см. Добавление, п. 5.)

Для дифференциального уравнения и системы таких уравнений редко удается получить интересующее нас ре­шение точно, в виде формулы. (Исключение составляет важный класс линейных уравнений и систем с постоянными коэффициентами, а также некоторые гораздо более узкие классы уравнений первого и второго порядков, которые можно найти в распространенных учебниках и справоч­никах.) Однако этот недостаток компенсируется наличием большого числа эффективных методов приближенного пост­роения решений, а также асимптотических и качественных методов их исследования.

Методы приближенного построения решений дифферен­циальных уравнений, как и других уравнений, в которых искомыми являются функции, можно условно подразделить на непрерывные и дискретные; в первых решение строится как функция непрерывного аргумента, во вторых — дис­кретного. Типичными непрерывными методами являются различные варианты методы Галеркина и другие методы, в которых путем подбора параметров в формуле для приближенного решения производят «исправ­ление» невязки. (Напомним, что невязкой называется раз­ность между левой и правой частями уравнения после подстановки в него приближенного решения; для точного решения невязка равна нулю.) Эти методы широко приме­няются при решении краевых задач.

Типичными дискретными методами являются методы Рунге — Кутта, Адамса и другие сходные методы, особенно удобные при работе на ЭВМ. В этих методах значение приближенного решения строится в точках где — выбранный шаг метода. Дифференциальное уравнение (1) по определен­ному правилу, различному для разных методов, заменяется на разностное уравнение вида

(2)

где под иk понимается значение приближенного решения при тогда говорят о явном r-шаговом разностном мето­де. (Так, метод Рунге — Кутта решения дифференциально­го уравнения первого порядка является одношаговым, а метод Адамса — четырехшаговым.) Иногда оказывается бо­лее удобным перейти к разностному уравнению вида

(3)

— это неявный r-шаговый метод. Для неявного метода на каждом шаге приходится решать конечное уравнение относительно иk+r, но оказывается, что это осложнение мо­жет с лихвой искупаться возможностью увеличения τ и тем самым уменьшением числа шагов для достижения разумной точности.

Аналогичным образом применение дискретных методов решения системы дифференциальных уравнений приводит к системе разностных уравнений. Ее в общем случае можно записывать в том же виде (2) или (3), но под иk тогда уже понимается вектор той же размерности, что и размер­ность исходной системы.

Дискретные методы особенно удобны при решении за­дачи Коши. В самом деле, определив сначала значения (имеются способы, как это сделать), мы можем, положив k = 0, найти значение иr; затем, положив k = 1, найти и т. д., пока не пройдем весь интересующий нас интервал изменения переменной t. В случае краевой задачи значения непосредственно определить нельзя

и совокупность уравнений (2) для всех необходимых значений к приходится рассматривать как систему конечных уравнений специального вида, причем очень высокой раз­мерности. В курсах приближенных вычислений приводится ряд методов решения подобных систем (чаще всего приме­няется так называемая прогонка).

По поводу численного решения дифференциальных урав­нений см. курсы численных методов.

Разностные уравнения вида (2) и (3), скалярные и векторные, появляются в приложениях математики и вне связи с дифференциальными уравнениями. Задачи, свойства решений, асимптотические и качественные методы их иссле­дования для разностных уравнений схожи с таковыми для дифференциальных уравнений, и их можно найти в спе­циальной литературе. Разностные уравнения обычно появ­ляются как математические модели механических и иных систем, для которых определен закон перехода из одного состояния в другое в некоторые дискретные моменты вре­мени, либо как модели стационарного состояния дискретной системы взаимосвязанных объектов. Особенно удобны ли­нейные разностные уравнения и системы с постоянными коэффициентами, для которых решение строится в виде простой формулы.

B приложениях математики широко распространились дифференциально-функциональные урав­нения (иначе — дифференциальные уравнения с отклоня­ющимся аргументом). Как правило, это уравнения запаз­дывающего типа или нейтрального типа, простыми представителями которых в случае уравнений первого порядка могут служить соответственно уравнения

и

(штрихом обозначена производная; h > 0 — заданная посто­янная). Такие уравнения появляются, если в моделируемой системе имеется элемент задержки, в результате действия которого скорость эволюции системы определяется ее состо­янием не только в текущий момент t, но и в предшествующий момент t—h. Дифференциально-функциональные уравне­ния широко применяются в теории регулирования, мате­матической биологии, медицине, экономике и др.

Методы приближенного построения и исследования ре­шений дифференциально-функциональных уравнений развиты близко к соответствующим им методам для обычных дифференциальных уравнений и приведены в спе­циальной литературе. Однако появление «запаздывания» h порой приводит не только к количественным, но и к качест­венным изменениям постановок задач и свойств их решений. Так, в качестве начального условия для уравнений первого порядка задается не только значение как для обычных уравнений, а все значения искомой функции при при заданном начальном условии уравнение может решаться не в обе стороны, как обычно, а только «вперед» по t и т. д. Как и для случая обычных уравнений, наиболее эффективно применение линейных уравнений или систем с постоянными коэффициентами. В частности, вопрос об устойчивости системы, описываемой таким уравнением, полностью решается на основе анализа корней соответству­ющего характеристического уравнения, которое, правда, оказывается не алгебраическим, как для обычного диффе­ренциального уравнения, а трансцендентным.