Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 34 )

Допущение об изоморфизме Мира и Языка, если понимать его буквально, неизбежно при­водит к пониманию этого самого Мира как множества карнаповских «описаний состояния» или множества «фактов» в духе логического атомизма раннего Витгенштейна. Не повторяя доста­точно общеизвестных аргументов, выдвигаемых против этих концепций, следует заметить лишь, что отсюда сразу же следу­ет представление о счетности Системы, именуемой нами в таком случае «Миром».

Парадоксальность такого вывода могла бы быть, оче­видно, преодолена с помощью различного рода дополни­тельных гипотез о «квантовании Мира». При всей серьезности доводов, могущих быть выдвинутыми для обоснования такого рода гипотез, хотелось бы все же постараться найти разрешение этого «парадокса», не зависящее от них, хотя бы еще и потому, что подобный же «парадокс» возникает фактически всякий раз, когда мы говорим о счетных системах объектов: ведь любой, в том числе и претендующий на «адекватность» описания, текст состоит из конечного множества слов! Здесь «ру­ководящую идею» до известной степени может подсказать известное заключение, к которому приводит аналкз «парадокса» Скулема, состоящее в том, что понятия счетности и несчетности представляются лишь с «наивной» канторовской точки зрения «абсолютными», или «объек­тивными», присущими, так сказать, самой природе вещей. На самом же деле они «относительны» в том смысле, что зависят самым жестким образом от употребляемого (или — при неформализованном или полуформализованном изло­жении — подразумеваемого) языка. Поэтому, например, несчетность какого-либо множества, описываемого сред­ствами какой-нибудь конкретной системы, в этой самой системе означает просто невозможность осуществить сред­ствами этой системы взаимно-однозначное отображение данного множества на натуральный ряд (конечно, в предположении, что последний выразим в данной системе), и не более. Не желая переносить эту аргументацию на интересующий нас случай буквально, утверждая полный релятивизм описываемых языковыми средствами фактов и явлений внешнего мира, мы можем, однако, не вступая в конфликт с онтологической ориентацией познания, ис­кать причину видимого «парадокса» в относительном ха­рактере самих по себе языковых средств и представлений о том, что, собственно, означает утверждение об «адекват­ности» языкового описания действительности. И самым простым и естественным представляется считать «адек­ватным» описание, обладающее в некотором (поясняемом ниже) смысле «требуемой» степенью гомоморфизма. Сте­пень эта может быть в принципе охарактеризована за­ранее, а критерии ее наличия заданы эффективно.

8. Сказанное можно проиллюстрировать двумя приме­рами-аналогиями, носящими, как всякие примеры, отчасти метафорический характер, но при этом весьма точно характеризующими суть дела. Первый пример относится к давным-давно известной проблеме измерения площадей (равно как и любых других физических характеристик любых объектов). Мы привыкли думать co школьной (или уж во всяком случае с университетской) скамьи, что «точные» значения площадей произвольных фигур (или «реальных» участков) выражаются действийтельными (вообще говоря, иррациональными) числами, рациональные же числа — это всего лишь «суррогаты», предназначенные для приближенных измерений. В известном смысле (в каком именно — сказано в любом учебнике геометрии или математического анализа) это действительно так. И вместе с тем физик прекрасно понимает, что «точное» значение площади, выраженное «произвольным» действительным числом, есть не более чем удобная фикция, результаты же конкретных изме­рений, полученные при помощи реальных приборов, вы­ражаются именно рациональными числами. Бо­лее того, точность, якобы присущая «объективной» ха­рактеристике площади, задаваемой в виде произвольного (т. е., вообще говоря, не вычисляемого посредством неко­торого алгоритма (это следует хотя бы из соображений мощности: множество дейст­вительных чисел из любого интервала имеет мощность конти­нуума, множества же «конструктивных» действительных чисел не более чем счетны) действительного числа, иллюзорна, поскольку «произвольное» действительное число может быть названо, но отнюдь не вычислено. Что же касается приближенных значений данной величины, вы­раженных рациональными числами, то их-то точность как раз не ограничена ничем, кроме разрешающей спо­собности применяемого прибора.

Нечего и говорить, что в случае заведомо квантован­ных характеристик объектов или явлений (типа энергии, электрического заряда и т. п.) результаты их измерений вообще могут быть выражены абсолютно точно, причем не только рациональными, но и просто целыми числами. Однако отсутствие бесспорных указаний на то, что такая дискретность присуща любым физическим параметрам (и пока совершенно не ясно, какой природы должны бы быть аргументы, обосновывающие подобные универсаль­ные утверждения), побуждает нас считать квантование параметров всего лишь «частным случаем» и придержи­ваться «презумпции непрерывности». Впрочем, вывод о возможности выражения результатов любого физическо­го измерения с любой наперед заданной точностью с по­мощью всего лишь потенциально счетного (а практичес­ки, коль речь идет о параметрах, изменяющихся в пределах некоторого ограниченного интервала, даже ко­нечного) набора чисел (скажем, десятичных дробей с заданным заранее числом «надежных» десятичных знаков) совершенно не зависит от каких бы то ни было онтологи­ческих гипотез о дискретности или непрерывности (здесь отметим лишь, что в отличие от точно опреде­ленного и вполне конструктивного смысла, в каком употребля­ются термины типа «континуальные модели управляющих систем» метафоры вроде «химического континуума мозга как механизма отражения действительности» вообще не поддаются непротиворечивому истолкованию).

По сути дела, речь идет о модификации хорошо известного метода покрытия плоскости системой прямых, образующих «ε-сеть», при котором площадью фигуры, по определению, называется число (сумма) ε-квадратов, целиком (или, в другом варианте, хотя бы частично (состоя­щих, из точек данной фигуры (т. е. те самые величины, которые являются приближениями по избытку или соот­ветственно по недостатку для «настоящей» площади). Если развить эту идею несколько дальше, то, выражаясь мета­форически, наш тезис сведется к тому, что человеческое мышление, понимаемое как «познающий механизм», имеет потенциально счетное (но не континуальное) множество «состояний», причем размеры ячеек «концептуальной ε-сети», определяемые этой «разрешающей способностью моз­га», в свою очередь определяют осуществляемые в актах познания «гомоморфизмы бытия в мышление», причем эти гомоморфизмы никоим образом не являются изоморфизмами.

9. Второй пример (варьирующий ту же идею) относится к сравнению двух подходов к моделированию физических процессов: на аналоговых (непрерывного действия) и цифровых (дискретного действия) вычислитель­ных машинах. Аналоговое моделирующее устройство в буквальном смысле имитирует исследуемый физи­ческий процесс, осуществляя, казалось бы (поскольку такое воспроизведение основано на изоморфизме двух процессов различной природы, описываемых одним и тем же дифференциальным уравнением; ср. «основной при­зер» из § 3, п. 5), идеал моделирования. Дискретное же множество состояний цифровой электронно-вычислитель­ной машины уже в силу своей счетности (и то, разумеется, потенциальной; конкретные же множества состояний вообще конечны, хотя, понятно, и не ограничены в совокупности никакой константой) может быть разве лишь гомоморфным образом континуального (во всяком случае с точки зрения интуитивных пространствен­но-временных представлений) «оригинала».

Но на самом деле точность именно аналогового моде­лирования принципиально ограничена параметрами мо­делирующего устройства (определяющими его «разрешаю­щую способность» и «инерционные» свойства), в то время как физическая природа цифрового автомата вообще не имеет никакого значения для оценки возможной точности моделирования, которая определяется не случайными ко­лебаниями и флуктуациями «объективных» физических параметров и точностью их измерения (как в аналоговых машинах), а количеством разрядов в изображении число­вых величин, причем выделение нужного количества раз­рядов находится в исключительной компетенции вычис­лителя.

Это принципиальное различие между возможнос­тями аналоговых и дискретных вычислительных (мо­делирующих) устройств становится особенно наглядным, если представить в качестве «абстрактного прототипа» произвольного аналогового устройства логарифмическую линейку: точность выполнения расчетов на ней (для простоты достаточно говорить об умножении чисел) огра­ничена, при данных размерах линейки, погрешностями в толщине штрихов ее шкалы и промежутков между ними. «Прототипом» же цифровой машины можно считать обыч­ные конторские счеты, точность изготовления и стан­дартность деталей которых вообще не играет никакой роли, а для получения нужного количества надежных значащих цифр в результате достаточно взять соответ­ствующее количество спиц с костяшками. (Возможности пользоваться любым наперед заданным числом ячеек для записи данных и результатов в электронно-вычисли­тельной машине соответствует, очевидно, представление о по­тенциальной неограниченности числа спиц на наших «абстракт­ных счетах»).

Вряд ли требует пояснений, что под схему «факто­ризации» подпадает любой из упомянутых (равно как и не упомянутых) конкретных примеров «моделирования» (здесь не исключается и тривиальный случай «копи­рования» (т. е. тождественного изоморфизма)) — как «аналогового», так и «дискретного». (Ниже будут обсуждены доводы, в силу которых «дис­кретный» случай естественно в некотором разумном смыс­ле считать более общим.)

10. Прежде чем перейти к рассмотрению других воз­можных обобщений и модификаций понятия гомоморфиз­ма, возникающих при анализе теоретико-познавательных процессов, остановимся коротко еще на одной (тесно свя­занной с предыдущей — настолько тесно, что взаимные переводы, как будет сейчас видно, получаются совершен­но автоматически) интерпретации «неполных гомоморфиз­мов». Имеется в виду уже анонсированная выше топо­логическая интерпретация такого рода отобра­жений, базирующуяся на понятии «близости». Как из­вестно, топология какого-либо пространства (т. е. система его открытых множеств — так называемых окрестностей) может быть проще всего задана посредством некоторой метрики, удовлетворяющей обычным аксиомам (неотрицательность, симметричность, аксиома треугольника); впрочем, можно говорить и о топологических неметризованных пространствах, в ко­торых понятие «близости», наоборот, производно и опре­деляется как «принадлежность одной и той же окрест­ности» и т. п.