Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 24 )

6. Чрезвычайно глубокий аспект теории отождествле­ний, связанный с отказом от метафизических представле­ний об «абсолютном» характере тождества и отождествле­ния абстрактных объектов (не говоря уже о предметах материальных), исследуется в так называемой улътраинтуиционистской программе обоснования математики. Рассмотрения эти имеют ярко выражен­ную гносеологическую и семиотическую направленность, но непосредственное использование их для наших «структурологических» целей на настоящей стадии развития концепции представляется пока затруднительным.

7. Напротив, самое прямое отношение к нашим зада­чам как по общему духу и направленности интересов, так и с точки зрения методологической имеют рассмот­рения отождествлений в языковой сфере: как по­казывает анализ отношения синонимии в естественных языках (т. е. отношения эквивалент­ности по смыслу), оно не просто характеризует меру гибкости и богатства выразительных средств дан­ного языка, а является фундаментальной характеристикой, отличающей я з ы к и в собственном смысле слова от тривиальных (взаимно-однозначных) кодов. Несимметричность отношения между элементами пары «СмыслТекст», с одной стороны, свидетельствует о гомоморфном, а не изоморфном характере описанной в монографии и других работах ­чука и семантической модели, а с дру­гой — не оставляет сомнения в гомоморфном же характе­ре модели, которую можно было бы по аналогии назвать моделью «МирЯзык».

Не имея возможности подробнее останавливаться на проблемах «языкового моделирования», следует сказать, что не раз отмеченная выше его несиммет­ричность не исключает возможности инверсии элементов модели «Смысл Текст». Отсюда уже по су­ществу чисто дедуктивным путем получаются имплицитно содержащиеся, сформулированные и использованные в методологических целях, связи между явлениями синонимии и омони­мии и представления любой интерпретации любого «текста» как о «переводе» его на некоторый другой язык.

8. Следует, наконец, отметить, что неоднократно упо­минавшаяся выше мысленная операция отождествления онтологически различных объектов не является неким «математическим новшеством», привне­сенным современными логическими теориями. Она ухо­дит своими корнями в неявно подразумевавшийся еще в античной логике и математике, а в явном виде сформу­лированный Лейбницем, принцип тож­дества неразличимых (Principum identitatis indiscerni-bilium). Внутреннее единство (при внешнем противоречии) этого принципа с так называемым принципом индивидуации (введенным, по-видимому, св. Фомой Аквинским), утверждающим единственность и «неповторимую индивидуальность» каждого реально существующего или абстрактного объекта, преодолевается с помощью введенного понятия «интервала абстрак­ции отождествления». В работах Новоселова содержится весьма детальный анализ соотношения между онтологическим, эпистемологическим и лингвисти­ческим аспектами понятия тождества.

2.3. Изоморфизмы

Изоморфизм означает буквально равенство (тож­дество) формы. Содержание этого понятия полностью соответствует этимологии. Разберем несколько примеров, на ко­торых будет легко понять и уяснить различные стороны этого понятия.

1. Самые первые, «классические» примеры изоморфиз­ма — это различного рода графические изображения предметов: рисунки, чертежи, карты, фотографии и т. п. Предположив, что речь все время будет идти исключительно о «правильных» («документальных», «реа­листических» или даже «натуралистических») изображени­ях, мы согласимся, что действительные формы изображае­мых предметов (точнее, их проекций на некоторые плоскости) сохраняются на изображениях: форма «овала лица» на фотографии, взаимное расположение де­талей механизма на чертеже, соединения проводов, кон­такты и переключатели на электрической схеме, формы береговых очертаний и расположение кружочков, изо­бражающих населенные пункты, на карте (выпуклость Земли и рельеф ее поверхности нам здесь удобнее игнорировать).

Хорошо согласуясь (каждый порознь) с этимологией термина, все эти примеры в то же время вызы­вают вопрос об их «равноправии»: нельзя ли сказать, что одна пара объектов (например, дом и его фотография) «бо­лее изоморфна», чем другая пара (допустим, тот же дом и его план)? Вопрос этот нельзя не признать естественным — если предметы обладают разной степенью взаимного сходства, то что может быть естественней осуществить введение некоторой «меры сходства»?

Однако задавать вопросы легче, чем отвечать на них. Можно сравнивать между собой «степени по­хожести» (или «непохожести») любых двух конкретных пар. Но возможно ли введение единой меры такого «сходства? Да и возможны ли вообще объективные, и притом количественные, критерии сходства и различия? На кого больше похож Евклид: на Герострата (оба греки), на Лобачевского (оба геометры) или на Ньютона (не геометр, но, помимо прочего, все же математик; да и ничем «неевклидовым» не занимался)? Или, скажем, с кем больше «сходства» у Чехова: с Мопассаном, с Глебом Ус­пенским или с актером Михаилом Чеховым? Верно ли, что любые два японца похожи друг на друга больше, чем два русских? Или (как, быть может, думают некото­рые японцы) как раз наоборот? Наконец,— вспомним наши же примеры — не вернее ли будет все-таки ска­зать, что в одном отношении на дом больше похожа его фотография, а в другом — план?

2. Пусть С — прямая линия, рассматриваемая как множество точек; D — множество (всех) действительных чисел. Выбрав произвольную точку прямой в качестве начала отсчета, произвольный отрезок в качестве единицы длины и одно из двух направлений на прямой в качестве направления возрастания, можно сопоставить выбранному началу отсчета число 0, а концу единичного отрезка, отло­женного в направлении возрастания от начала отсчета, чис­ло 1. Определенная таким образом система координат на прямой выражает изоморфизм множеств С и D. Совершенно аналогичным (и столь же общеизвестным) образом вво­дится система координат в произвольном п-мерном (в частности, евклидовом) пространстве, осуществляющая изоморфизм между множеством точек такого пространства и множеством (упорядоченных) п-ок действительных чисел.

3. Поскольку речь идет об абстрактных системах объектов, все свойства которых извлекаются из их (полного) формального описания, изоморфизм есть поня­тие «абсолютное» — этим термином мы обозначаем взаим­но-однозначное соответствие между элементами двух аб­страктных множеств, «сохраняющее» все свойства элемен­тов этих систем и в с е отношения между ними. Если, допустим, говорят об изоморфизме двух групп, то имеется в виду такое взаимно-однозначное соот­ветствие между ними, что единице одной группы соот­ветствует единица другой и для любых двух пар соот­ветствующих друг другу элементов а и b, а′ и b' из этих групп соответствовать друг другу будут также обратные элементы а-1 и (а')-1 и произведения аb = с и а'b' = с'.

Может, однако, оказаться, что операции (свойства, от­ношения), определенные для элементов двух множеств, являющихся в некотором (интуитивном) смысле «изоморф­ными», различным образом интерпретируются. Возьмем, например, множество N целых положи­тельных чисел 1, 2, 3,... и множество N- целых отри­цательных чисел —1, —2, —3,..., рассматриваемые как упорядоченные множества (никаких других свойств целых чисел и операций над ними принимать во внимание не будем). Взаимно-однозначное соответствие между N и N- установить очень просто, сопоставив друг другу числа п и —п; но если считать, что на обоих множествах опре­делено одно и то же отношение > («больше»), то они не будут изоморфными, так как большему элементу первого соответствует меньший элемент второго. Если же рассматривать множество N с отношением «больше», а множество N- с отношением «меньше» (или наоборот) и считать именно э т и (а не одноименные!) отношения «соот­ветствующими», то N и N-, конечно, изоморфны.

Представим себе теперь, что на тех же множествах N и N- введены обычные арифметические операции сложения и умножения. Тогда, очевидно, относительно сложения они будут изоморфны (независимо от предшествующих соглашений об «основных» упорядочивающих отношениях), а относительно умножения неизоморфны, что видно хотя бы из того, что произведение элементов N также входит в N, а произведение элементов из N- в N- не входит. Если, однако, в N- «умножением» называть умножение абсолютных величин (то есть полагать по определению для любых п и т), то относительно этой операции N и N- тривиальным об­разом изоморфны.

Приведенных примеров достаточно, чтобы уяснить необходимость рассмотрения изоморфизма как «относи­тельного» отношения между системами объектов: фраза «классы А и В изоморфны» становится осмысленной (а тем самым истинной или ложной) лишь при добавлении «относи­тельно таких-то и таких-то свойств, операций и (или) отно­шений». Тем самым сразу решается вопрос о «степени сходства» изоморфных систем; чем задумываться над псев­допроблемой «что более похоже на дом: фотография или чертеж», мы просто скажем, что первая изоморфна дому (или его изображению на сетчатке) относительно взаим­ного расположения (на некоторых плоскостях проекций) всех видимых деталей, а второй — относительно «важ­нейших» (т. е. таких, которые мы сочли «заслужи­вающими» изображения на чертеже) деталей, в том числе и не видимых снаружи.

4. Иногда приходится (и бывает очень удобно в мето­дологическом отношении) говорить не о парах, а о сово­купностях ( в том числе и о бесконечных) изоморфных систем. Сравним, например, сле­дующие три теории: исчисление высказываний (понимае­мое именно как исчисление, т. е. как некоторая формальная система, логику высказываний (понимаемую как содержательная теория о высказываниях и формах высказываний) и теорию контактных электрических схем. Известно, что выражения логики высказываний и контакт­ные схемы можно поставить в такое взаимно-однозначное соответствие, что тождественно-истинным формулам будут соответствовать схемы, проводящие ток при любых рас­пределениях состояний своих контактов, выполнимым формулам — схемы, проводящие ток при некоторых на­борах состояний контактов, а невыполнимым (тождест­венно-ложным) — схемы, не пропускающие ток ни при одном наборе состояний контактов. При этом образованию логических выражений при помощи оператора дизъ­юнкции соответствует параллельное соединение контак­тов схемы, соответствующих дизъюнктивным членам (и то же — с заменой «дизъюнкции» на «конъюнкцию», «па­раллельное» на «последовательное» и «дизъюнктивных» на «конъюнктивных»).