Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 90 )

3.7. Упрощения и уточнения

3.7.1. Рабочие гипотезы

Часто бывает, что после постро­ения сложной математической модели ее оказывается воз­можно так или иначе упростить, другими словами, перейти к новой, более простой (и обычно более грубой, т. е. менее адекватной) модели. Эта упрощенная модель может оказать­ся достаточной для целей исследования; если же это не так, то результат ее рассмотрения можно применить для изу­чения более сложной модели. Бывает и так, что мы сразу строим грубую модель, имея в виду, что она в дальнейшем будет уточняться. В связи с этим отметим, что, прикладное математическое исследование часто имеет характер после­довательных приближений, при которых предыдущее при­ближение к удовлетворяющему нас результату применяется для построения последующего, более точного.

Одним из методов существенного упрощения модели является выдвижение рабочих гипотез, относящихся к ожи­даемым свойствам решения задачи и выдвигаемых в процессе ее исследования. Такие гипотезы могут относиться, на­пример, к структуре искомой зависимости (см. примеры ниже), и если они опираются на реальное истолкование математической задачи, разумные аналогии и другие ра­циональные доводы, опыт и здравый смысл, то могут ока­заться решающими. С другой стороны, эти гипотезы могут порой открыть возможность для необоснованных выводов. Поэтому применение рабочих гипотез должно отчетливо осознаваться, а на мотивировку их вклю­чения и последующее обоснование надо обращать серьезное внимание.

Рассмотрим пример. Пусть исследу­ется равновесие столба жидкости, «под­вешенного» силами поверхностного натя­жения в вертикальной трубке с круговым сечением (рис. 1).

Рис. 1

Построение формы свободной равновесной поверхности сво­дится к двумерной краевой задаче для линейного уравнения с частными производными. Но на основании элементарных наблюдений представляется естественным ввести рабочую гипотезу о том, что решение должно быть осесимметричным. При вклю­чении этой гипотезы в модель задача становится одномерной и приводится к решению краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения, что несравненно проще. Здесь имеется два критерия подобия — число Бонда — плотность жидкости, σ — коэффициент поверхностного натяжения, g, R показаны на рис. 1) и угол смачивания α. Можно построить решение задачи и проверить его устойчивость для любых достаточно малых значений и форма этого решения близка к экспериментально наблюдаемой, что служит апостериорным оправданием принятой рабочей гипотезы.

Однако полученное решение существует при значитель­но бóльших значенияхчем это реально наблюдается. Это объясняется тем, что, начиная с некоторого критическо­го значения зависящего от α, решение становится неустойчивым относительно неосесимметричных возмуще­ний! Таким образом, бесконтрольное применение рабочей гипотезы приводит в задаче об отыскании к прямой ошибке. Этой ошибки можно избежать, если подумать о реальном характере потери устойчивости столба жидкости, например, при уменьшении σ с помощью разогрева (как показано штриховой линией на рис. 1) либо на основании аналогий. В самом деле, известен целый ряд задач, в которых условия вместе с соответствующей формой равновесия обла­дают определенной симметрией, но для которых наиболее опасные формы потери устойчивости этой симметрией не обладают.

Широко применяются рабочие гипотезы в прикладной теории колебаний — гипотезы о форме движения, о ее разложимости в ряды того или иного вида, о частоте искомых колебаний и т. д. — и во многих других областях прило­жения математики.

3.7.2. Упрощение уравнений

Имеется много способов упро­щения математических моделей. Можно упрощать геомет­рические формы, заменять заданные зависимости между величинами на более простые и т. д. Мы здесь остановимся на упрощении уравнений, составляющих математическую модель. Основные способы упрощения таких уравнений со­стоят в переходе к безразмерным величинам, в отбрасывании малых членов, в замене заданных функций на постоянные значения и т. п.

Приведем пример. Рассмотрим вынужденные гармони­ческие колебания линейного осциллятора, которые для про­стоты будем записывать в комплексной форме:

(1)

где m- маса тела, f- коэффициент трения, k- коэффициен жесткости, а А, ω — амплитуда и частота вынуждающей силы. Решение будем искать в виде

х = Bеiωt. (2)

Комплексная амплитуда В колебаний зависит от всех пяти параметров m, f, k, А, ω, что делает, казалось бы, невоз­можным сколько-нибудь полное представление этой зави­симости в табличном или графическом виде. Но в дей­ствительности положение не столь печальное. Сделаем в (1) и (2) замену переменных

где — некоторые характерные значения координаты и времени, которые мы уточним позже, а — соответствующие безразмерные переменные. Мы получим

(3)

Разделив уравнение (3) на коэффициент при старшей производной, получаем безразмерный вариант уравнения (1):

(4)

Он включает четыре безразмерных параметра (три, взятых в скобки, а также однако путем выбора их число можно уменьшить на два. Это можно сделать различными способами в соответствии с условиями задачи и целями исследования.

Пусть нас интересует в основном зависимость амплитуды вынужденных колебаний от трения и частоты возбуждения, причем силы инерции и упругости считаем примерно одного порядка. Тогда естественно положить в уравнении (4) безразмерные коэффициент упругости и амплитуду внешнего воздействия равными единице, откуда получаем

Таким образом, мы связываем здесь характерное время с периодом свободных колебаний при отсутствии трения, тогда как характерное значение координаты просто равно ее статическому значению, если внешняя сила постоянна. Выбор таких единиц масштаба определила постановка задачи.

После указанной замены уравнение (4) принимает вид

(5)

и содержит всего два безразмерных параметра и

Зависимость безразмерной амплитуды колебаний от безразмерной частоты («амплитудно-час­тотную характеристику») при различных значениях безраз­мерного коэффициента трения f' нетрудно представить гра­фически. Зная зависимость мы получаем и соотношение между размерными величинами

Проведенное преобразование дает, в частности, ответ на вопрос, при каком условии в рассматриваемой задаче можно считать трение малым и упростить уравнение (1), отбросив средний член в левой части. Ответ «f должно быть малó», хотя и правильный, требует уточнения, так как малость размерной величины имеет смысл только в сравнении с другой величиной той же размерности. Из уравнения (5) мы получаем более точный ответ: должно быть малó f' или, что то же, должно быть Чтo это конкретно означает, зависит от допустимого расхождения между прибли­женным и точным значениями амплитуды колебаний и выясняется из сравнения амплитудно-частотных характе­ристик для данного f' и для Так, при (т. е. при указанное расхождение имеет порядок процентов.

Аналогичным образом рассматриваются и более сложные задачи. При этом может получиться, что на различных этапах развития изучаемого процесса или при рассмотрении различных участков изучаемой среды характерные значения величин следует выбирать по-разному и уравнения упро­щать тоже по-разному (см. пример ниже). Поэтому если известны численные значения параметров системы, то после приведения уравнений к безразмерному виду следует про­водить прикидку численных значений отдельных членов, чтобы выяснить, нельзя ли какие-либо из них выбросить. В частности, если речь идет о численных расчетах, то заведомо можно отбрасывать все слагаемые, существенно меньшие по модулю реальных погрешностей в других слагаемых.