Дискретно-непрерывная математика (стр. 10 )

Докажем теперь, что есть минимальный многочлен для І1. Пусть — произвольный аннулирующий многочлен для І1, а х — произвольный вектор из R. Используя уже установленное разложение (78), напишем:

Поскольку х — произвольный вектор из R, то отсюда вытекает, что произ­ведение есть аннулирующий многочлен для R и потому делится без остатка на другими словами, делится на Но — произвольный аннулирующий многочлен для I1, a — один из аннулирующих многочленов (в силу определения I1). Значит, есть минимальный многочлен для I1. Совершенно аналогично доказывается, что есть минимальный многочлен для инвариантного подпространства I2.

Теорема доказана полностью.

Разложим многочлен на неприводимые в поле К множители:

(80)

(здесь — различные неприводимые в К многочлены со старшими коэффициентами 1). Тогда на основании доказанной теоремы

(81)

где Ik — инвариантное подпространство с минимальным многочленом

Таким образом, доказанная теорема сводит изучение поведения линейного оператора в произвольном пространстве к изучению поведения этого опера­тора в пространстве, где минимальный многочлен есть степень неприводимого в К многочлена. Это обстоятельство будет нами использовано для доказа­тельства следующего важного для нас предложения:

Теорема 2. В пространстве всегда существует вектор, минимальный многочлен которого совпадает с минимальным многочленом всего пространства.

Доказательство. Рассмотрим сначала тот частный случай, когда минимальный многочлен пространства R есть степень неприводимого в К мно­гочлена φ(λ):

Выберем в R базис Минимальный многочлен вектора еi

является делителем многочлена ψ(λ) и поэтому представляется в виде где

Но минимальный многочлен пространства есть наименьшее общее крат­ное минимальных многочленов базисных векторов, т. е. совпадает с наи­большей из степеней Другими словами, совпадает с минимальным многочленом одного из базисных векторов

Переходя к общему случаю, докажем предварительно следующую лемму:

Лемма. Если минимальные многочлены векторов е' и е" взаимно просты, то минимальный многочлен суммы векторов е' + е" равен произведению мини­мальных многочленов слагаемых векторов.

Доказательство. В самом деле, пусть — минималь-

ные многочлены векторов е' и е". По условию взаимно просты.

Пусть χ(λ) — произвольный аннулирующий многочлен для вектора е = е' + е". Тогда

т. е. есть аннулирующий многочлен для е'. Следовательно, делится без остатка на и так как взаимно просты, то χ(λ) делится на Аналогично доказывается, что χ(λ) делится на Нои взаимно просты. Следовательно, χ(λ) делится на произведение Итак, произвольный аннулирующий многочлен вектора е де­лится на аннулирующий многочлен Поэтому и будет минимальным многочленом вектора е = е' + е".

Вернемся к теореме 2. Для доказательства в общем случае используем расщепление (81). Так как минимальные многочлены подпространств I1, I2,... ..., Is суть степени неприводимого многочлена, то для этих подпространств наше предложение уже доказано. Поэтому существуют такие векторы минимальными многочленами которых будут соответ­ственно В силу леммы минимальный много­член вектора равен произведению т. е. равен минимальному многочлену пространства R.

11.11. Надпространство

Пусть дано некоторое подпространствоМы будем говорить, что два вектора х, у из R сравнимы по mod I, и будем писатьв том и только в том случае, если Легко проверяется, что введенное таким образомпонятие сравнения обладает следующими свойствами: для любых

l. x≡x (mod I) (рефлективность сравнения).

2. Из х ≡ у (mod I) следует у ≡х (mod I) (обратимость или симметрич­ность сравнения).

3. Из следует (транзитивность сравне­ния).

Наличие этих трех свойств сравнения дает нам возможность распределить все векторы пространства на классы, относя в каждый класс векторы, попарно сравнимые между собой по mod I (векторы из разных классов уже будут не­сравнимы по mod I). Класс, содержащий вектор х, будем обозначать через . (Так как каждый класс содержит бесчисленное множество векторов, то в силу этого условия он имеет и бесчисленное множество обозначений). Само подпространство I будет одним из этих классов, а именно, классом 0. Обратим внимание, что каждому сравнению отвечает равенство (т. е. совпадение) соответствующих классов:

Элементарно доказывается, что сравнения можно почленно складывать и почленно умножать на число из К:

1. Из следует