Дискретно-непрерывная математика (стр. 69 )

(323)

Указанное соответствие определяется здесь как сферическо-гипербо:шческая аналогия абстрактного типа. Углы-аналоги при этой замене имеют абстрактный смысл (но при сохранении бинарной тензорной структуры). Далее углы могут использоваться конкретно. В частности, применив к (295), (297) или более широко к (277)—(286) абстрактную аналогию по схеме (322), получаем гиперболические аналоги в вещественном псевдоевклидовом пространстве с тем же рефлектор-тензором в том числе в канонической форме в

тригонометрическом базисе диагонального косинуса. (324)

(325)

Это гиперболическая ротационная матрица-функция моторного угла Г или (- Г).

(326)

(327)

Это гиперболическая деформационная матрица-функция моторного угла Г или (— Г).

(328)

Это гиперболически ортогональный рефлектор по отношению к тензору

(329)

Это гиперболически косогональный рефлектор по отношению к тензору (В этих определяющих формулах - гиперболический

проективный угол, Г - гиперболический моторный угол.)

В псевдоевкчидовой тригонометрии срединный рефлектор с максимальным тригонометрическим рангом угла задаёт не только тригонометрический базис, но и рефлектор-тензор ориентированного псевдоевклидова пространства

Ему же отвечает некоторое собственное подмножество нуль-простых матриц <Вр>. Применяя принцип бинарности с учётом (271) и (324), получаем аннигилирующее соотношение - аналог такового для сферической ортогональной матрицы:

(330)

В свою очередь, модальное преобразование, обратное (271), производит псевдосферические углы и функции из гиперболических. Тензорный угол {iГ} имеет сферический характер. Псевдосферическая тригонометрия в тензорном варианте реализуется в комплексном квазиевклидовом пространстве с бинарной структурой, согласно (271). Скалярное произведение в данном пространстве тождественно таковому в исходном псевдоевклидовом пространстве:

Такого вида пространство обычно применяют как комплексный квазиевклидов аналог вещественному псевдоевклидову пространству. (Впервые оно было введено Пуанкаре в 1905г. как метрическое пространство с группой преобразований Лоренца.) Далее, применив к псевдосферическим понятиям абстрактную аналогию по схеме (323), получаем первичные сферические аналоги в вещественном евклидовом пространстве. Это приводится, конечно, только для завершения в целом картины абстрактной аналогии, так как в итоге круг преобразований замкнулся.

С применением абстрактной сферическо-гиперболической аналогии получаем формулы связи проективных и моторных углов и их функций через срединный рефлектор (268)-(270). Например, имеем:

Для описания сферических и гиперболических преобразований на какой-либо собственной плоскости/псевдоплоскости (поклеточно) далее используется общая тригонометрическая диаграмма. Тут изначально нет какой-либо связи между вещественными сферическими и гиперболическими углами, что характерно для абстрактной аналогии. Для того чтобы в исходном декартовом базисе установить отношение изоморфизма между сферическими и гиперболическими тригонометрическими функциями, нужно задать какую-либо однозначную взаимосвязь углов-аргументов.

13.14. Сферическо-гиперболическая аналогия конкретного типа

Обратим внимание на то, что множества значений сферических и гиперболических синусов и тангенсов скалярных углов тождественны:

(331)

Отсюда между углами-аргументами устанавливается взаимосвязь.

Согласно тригонометрической диаграмме (рис. 3), главные значе­ния сферических углов, как и ранее, берутся в интервале При этом значения сферического косинуса и секанса для них неотрицательны. Поэтому тождества (331) можно дополнить ещё двумя аналогами:

(332)

При тригонометрических преобразованиях планаров и двухва­лентных тензоров вполне достаточно использовать вышеуказанный интервал для собственных сферических углов. На тождествах (331) базируется сферическо-гипербопическая аналогия конкретного типа. Она же есть синус-тангенсная аналогия. В её тензорном варианте, или с тождествами по бинарным клеткам, эта аналогия представляется в виде:

(333)

Далее в исходном единичном базисеона распространяется на все типы тригонометрических матриц-функций:

(334)

(335)

Отсюда следует функциональная связь обоих углов моторного типа:

(336)

Характеристические рефлекторы (178), (179), (211), (212) в том же варианте принимают вид:

(337)

(338)

(339)

(340)

Рис. 3. Тригонометрическая диаграмма на плоскости/псевдоплоскости в правом универсальном базисе и сферическо-гиперболическая аналогия: φ — сферический угол, γ - гиперболический угол;

I, ІІ, ІІІ и IV суть 1-й, 2-й, 3-й и 4-й гиперболические квадранты для отображения скалярных гиперболических углов на псевдоплоскости;

- положительный и отрицательный углы гиперболической ротации в универсальном базисе, определяемые парой вещественных гипербол, как примеры в 1-м и 3-м квадрантах;

- примеры сферическо-гиперболической аналогии синус-тангенсного типа (во 2-м квадранте);

- примеры сферическо-гиперболической аналогии тангенс-тангенсного типа (в 3-м квадранте);

в 4-м квадранте даны примеры бисекции (слева) и удвоения (справа) гиперблического угла в универсальном базисе с использованием выше­указанных аналогий.

С использованием сферическо-гиперболической аналогии обоих типов моторные матрицы-функции преобразуются друг в друга по нижеуказанному квартовому кругу:

(341)

Для тригонометрически согласованных гиперболических ротационных матриц и ортогональных рефлекторов действуют Правила №2 и №3. Для скалярных тригонометрических функций правила выполняются автоматически, так как у них n = 2. В частности, имеем:

Синус-тангенсная аналогия позволяет придать гиперболически ортогональную форму ранее рассмотренным собственным аффинным проекторам, квазиобратной матрице и рефлекторам, получая те же соотношения, что и для сферических прототипов, но в гиперболическом варианте, а именно:

(342)

То есть двукратная рефлексия типа

- простой несимметричный корень, есть гиперболическая ротация по

аналогии с (245):

(343)

Здесь из матрицы в квадратных скобках извлекается арифметический корень и он же в данном случае гиперболический тригонометрический корень, аналогичный сферическому. Для пары неориентированных векторов или планаров ранга 1 при условии однозначно

вычисляется собственная элементарная ротационная матрица (т =1):

(344)

где в том числе