Дискретно-непрерывная математика (стр. 23 )

(221)

Преобразование (220), у которого коэффициенты удовлетворяют условию (221), называется унитарным, а соответствующая матрица U — унитарной матриией. Таким образом, в п-мерном унитарном пространстве переход от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному осуществляется при помощи унитарного преобразования координат.

Пусть дано п-мерное евклидово пространство R. Переход от одного орто­нормированного базиса в R к другому осуществляется при помощи преобра­зования координат

(222)

коэффициенты которого связаны между собой соотношениями

(2235)

Такое преобразование координат называется ортогональным, а соответ­ствующая матрица V — ортогональной матрицей.

Отметим матричную запись процесса ортогонализации. Пусть произвольная неособенная матрицас комплексными элементами. Рассмотрим унитарное пространство R с ортонормированным базисом и определим линейно

независимые векторы равенством

Подвергнем векторы процессу ортогонализации. Полученный ортонормированный базис в R обозначим через Пусть при этом

Тогда

т. е.

где — некоторые комплексные числа.

Полагая сik = 0 при i > k (i, k = 1, 2, ...,п), будем иметь:

Переходя здесь к координатам и вводя верхнюю треугольную матрицу и унитарную матрицу получим:

или

(*)

Согласно этой формуле произвольная неособенная матрица представима в виде произведения унитарной матрицы U на верхнюю треугольную С.

Так как процесс ортогонализации однозначно определяет векторы с точностью до скалярных множителей то в формуле (*) множители U и С определяются однозначно с точностью до диагонального множителя

В этом можно убедиться и непосредственно.

Замечание 1. Если А — вещественная матрица, то в формуле (*) множители U и С можно выбрать вещественными. В этом случае U — ортогональная матрица.

Замечание 2. Формула (*) сохраняет свою силу и для особенной матрицы А (| А | =0). В этом можно убедиться, полагая

Тогда

Выделяя из последовательности Um сходящуюся под последовательность

и переходя к пределу, из равенства при р→∞ получим искомое разложение А =UC. Однако в случае | А | = 0 множители U и С уже не определяются однозначно с точностью до диагонального множителя М.

Замечание 3. Вместо (*) можно получить формулу

(**)

где D — нижняя треугольная, a W —унитарная матрица. Действительно, применяя уста­новленную ранее формулу (*) к транспонированной матрице А'

и полагая получим (**) (из унитарности матрицы U следует унитарность и матрицы U', так как условия уни­тарности (221), записанные в матричном виде: влекут: )

11.23. Сопряженный оператор

Пусть в п-мерном унитарном пространстве R задан произвольный линей­ный оператор.

Определение 4. Линейный оператор А* называется сопряженным по отношению к оператору А в том и только в том случае, если для любых двух векторов х, у из R выполняется равенство

(224)

Докажем, что для каждого линейного оператора А существует сопря­женный оператор А* и притом только один. Для доказательства выберем в R некоторый ортонормированный базис Тогда [см. (219)] для искомого оператора А* и произвольного вектора у из R должно выполняться равенство .

В силу (224) это равенство может быть переписано так:

(225)

Примем теперь равенство (225) за определение оператора А*.

Легко проверить, что определенный таким образом оператор А* является линейным и удовлетворяет равенству (224) при произвольных векторах х и у из R. Кроме того, равенство (225) однозначно определяет оператор А*. Таким образом, устанавливаются существование и единственность сопряжен­ного оператора А*.

Пусть А — линейный оператор в унитарном пространстве, а матрица, отвечающая этому оператору в ортонормированием базисе е1,е2,..., еп. Тогда, применяя формулу (219) к векторуполучим:

(226)

Пусть теперь сопряженному оператору А* в этом же базисе отвечает мат­рица Тогда по формуле (226)

(227)

Из (226) и (227) в силу (224) следует:

т. е.

Матрица А* является транспонированной и комплексно сопряженной для А. Такую матрицу принято называть сопряженной по отношению к А.

Таким образом, в ортонормированием базисе сопряженным операторам отвечают сопряженные матрицы.

Из определения сопряженного оператора вытекают следующие его свой­ства:

Введем теперь важное понятие. Пусть S — произвольное подпро­странство в R. Обозначим через Т совокупность всех векторов у из R, ортого­нальных к S. Легко видеть, что Т есть тоже подпространство в R и что каж­дый вектор х из R однозначно представляется в виде суммы где т. е. имеет место расщепление

Это расщепление получаем, применяя к произвольному вектору х из R разложение (1905). Т называется ортогональным допол­нением к S. Очевидно, S будет ортогональным дополнением к Т. Мы пишем понимая под этим то, что любой вектор из S ортогонален любому вектору из Т.