Дискретно-непрерывная математика (стр. 76 )

Тождественность обоих способов определения норм (при одних и тех же их параметрах) имеет место только для норм высшего порядка, то есть для генеральных норм

(В частности, это имеет место для евклидовой нормы при r = 1.) Однако в общем случае при t ≤ r для вычисления норм по второму способу, как уже указывалось, потребовалось бы сначала найти матричный арифметический корень. По первому способу нормы вычисляют через скалярные характеристические коэффициенты той же внутренней гомомультигатикации А'А. В этом суть различия обоих подходов и, как отмечалось ранее, — причина выбора именно первого способа определения геометрических норм

Норма Фробениуса, или норма порядка 1 и степени 1 есть инвариант длины. Генеральная норма - минорант, или норма порядка r и степени r есть инвариант объёма ранга r. Характеристикаесть

инвариант степени 1 этого объёма, или генеральная иерархическая норма - малая медиана. Геометрические нормы ||A||t1 - малые медианы находятся в иерархии, соответствующей цепи (11) генерального неравенства средних величин. Геометрическая сущность вышеуказанных общих норм трактуется исходя из соотношений (127) как характеристика t-мерных объёмов и, в частности, при t = 1 как характеристика длины, а генеральной нормы - из соотношения (125) как характеристика r-мерного объема. Иерархические квадратичные тригонометрические нормы порядка 1 определяются аналогичным образом.

С учётом (182), (261) и (208), (264) имеем:

(420)

Квадратичные тригонометрические нормы высшего порядка выражаются формулами (416), (417). Если цепь (11) генерального неравенства средних величин состоит из усреднённых инвариантов какой-либо тензорной тригонометрической функции, то тогда его же цепь (12) содержит обращенные усредненные инварианты мульти­пликативно обратной тригонометрической функции. Очевидно, что иерархические инварианты косинуса и синуса заключены в интервале [0 - 1], а секанса и тангенса в интервалах-

13.25. Определение абсолютных

и относительных геометрических норм

Рассмотрим определение и имманентные свойства разнообразных геометрических норм матричных объектов. Пусть А есть комплексная n×m-матрица, представляющая алгебраически либо одновалентный тензор в пространстве при m ≤ n, либо двухвалентный тензор

в пространстве при m = n как некие геометрические объекты.

Дадим следующее определение.

Вещественная скалярная функциональная характеристика от элементов матрицы А ранга r есть определённая абсопютная геометрическая норма порядка t и степени h, если она удовлетворяет следующим условиям

Данному определению отвечают, например, нормы (414) - (419). Если же в условии (а) знак > заменить на знак ≥ , то тогда аналогичная функциональная числовая характеристика есть полуопределенная абсолютная геометрическая норма порядка t и степени h. Последняя применяется исключительно для квадратных матриц В, представляющих алгебраически двухвалентный тензор. Полуопределённые нормы обозначаются как Приведём некоторые примеры:

(421)

В свою очередь, относительная норма того же порядка и степени образуется через отношение полуопределённой и определённой абсо­лютных геометрических норм. Она применяется также для квадратных матриц и имеет тригонометрическую природу, являясь при этом всегда безразмерной характеристикой. Например, это может быть косинусное и синусное отношения матриц, введённые ранее. Однако пока что порядок относительных норм отвечал только рангу матриц.

13.26. Геометрический смысл общих квадратичных норм

Далее на примере косинусного отношения рассматриваются отно­сительные нормы общих порядков и их связь с абсолютными нормами. Генеральные косинусные неравенства (396), (398) и соответствующие им косинусные отношения имеют обобщённые квазианалоги для порядков t < r. Пусть даны n×r-линеоры А1 и А2. Выделим в каждом из них взаимные субматрицы столбцов размера n×t с одним и тем же набором номеров столбцов: где Далее рас-

положим вертикально и по порядку эти взаимные субматрицы отдельно для линеоров А1 и А2. При этом исходные A1 и А2 преобразуются в пару ранжированных линеоров размера и ранга t. Для каждой пары взаимных субматриц столбцов имеют место косинусные неравенства типа (396), (398):

где в числителе представлен один из диагональных миноров матрицы порядка t, соответствующий внутренней мультипликации взаимных субматриц столбцов . Отсюда, суммируя

числители и знаменатели всех частных неравенств, получаем общее неравенство:

Положительный знаменатель преобразуется далее без его уменьшения с использованием геометрического неравенства Коши для парной со­вокупности положительных чисел:

Используя (120) и (121), отсюда получаем общее квазикосинусное неравенство в знаковой форме:

(422)

В свою очередь, квазикосинусное неравенство в незнаковой форме задаёт относительную норму:

(423)

Тригонометрическая сущность квазикосинусного отношения как нормы порядка t < r устанавливается, согласно схеме его вывода, и относится непосредственно к ранжированным линеорам. Для 1-го порядка имеют место частные неравенства:

(424)

(425)

Именно отсюда для нормы Фробениуса, применительно к паре исходных n×r-линеоров, следуют классические неравенства параллелограмма и треугольника:

(426) (427)

Эти неравенства имеют линейный характер. Они демонстрируют природу нормы Фробениуса для линеоров как инварианта протяжён­ности. Но, строго говоря, косинусные характеристики (424), (425), неравенства (426), (427) и сами нормы Фробениуса относятся к линеорам А1 и А2 при r >1 только опосредовано - через пару ранжированных n∙r×1- векторов а1 и а2:

В частности, теорема Пифагора для норм Фробениуса имеет место тогда и только тогда, когда ортогональны именно ранжированные векторы:

(428)

Аналогичным образом, общие квазикосинусные отношения (422), (423) как относительные нормы применяются к линеорам А1 и А2 только опосредовано — через пару ранжированных линеоров (с точки зрения их тригонометрического смысла).

13.27. Линеоры специальных видов

и простейшие линеорные фигуры

Выявим в евклидовом линеарном пространстве специальные множества централизованных эквиранговых линеоров. Согласно (130), линеор представляется в форме квазиполярного разложения:

где - матричный евклидов модуль линеора. Здесь име-

ется аналогия с таким же представлением вектора:где

Матричный модуль линеора играет ту же роль, что и скалярный модуль вектора, но для набора единичных векторов Последние задают приведённые базисные ортогональные оси линеора.

Каждый линеор формально принадлежит собственному базисному планару: Эквиранговые линеоры, имеющие один и тот же

базисный планар <im A>, образуют полное множество колпланарных линеоров (по отношению к планару <im А>). В частности, при r = 1 это есть множество коллинеарных векторов. Колпланарность для пары эквиранговых линеоров определяется условием (153). Полное мно­жество эквиранговых колпланарных линеоров задаётся параметрически через свободную r×r-матрицу С (det С ≠ 0) исходя из тождества: