Дискретно-непрерывная математика (стр. 110 )

Особо отметим то, что характеристика nmin определяется в совокуп­ности внутренней геометрией и топологией риманова m-пространства. Например, двумерная псевдосфера Бельтрами (гл. 6А) есть риманово 2-пространство постоянной отрицательной кривизны, топологически эквивалентное цилиндру (без оснований). Она имеет значение nmin=3. С другой стороны, поверхность Лобачевского - Больяи есть риманово 2-пространство постоянной отрицательной кривизны, топологически эквивалентное аффинной плоскости. Она имеет nmin>3. Чтобы её

вложить и описать в каком-то (обобщенная задача Бельтрами),

значение nmin должно быть не менее 4-х. Возможно, что с этой целью её нужно представить как закрученную двумерную поверхность с главными радиусами кривизны «+ R» и «- R» (псевдосферу с аффинной топологией). Задача Бельтрами обобщается аналогично и дальше при m > 2. Но она относилась только к евклидову надпространству.

В более подходящем тут псевдоевклидовом метрическом надпро-странстве <Рm+1> m-поверхность Лобачевского - Больяи отображается в целом изометрично на верхнюю часть гиперболоида II Минковского приВ этом же надпространстве изометрично в целом

отображается m-псевдосфера Бельтрами на гиперболоид I Минковского (гл. 6А). В свою очередь, "m-гофра" есть риманово пространство нулевой кривизны и топологически эквивалентное аффинному m-пространству. Она отображается изометрично в целом на или на <Рn>, то есть при

Но классическая общая риманова геометрия имеет чётко выра­женный дифференциальный характер, определяемый изначально через метрический тензоркак матричную функцию точечного

элемента (псевдо)риманова пространства. Это есть по изначальной своей сути внутренняя геометрия в малом. В таком ракурсе общая риманова геометрия существенно отличается от однородных геометрий в целом, в которых особое значение имеют понятия: "группы движений", "свобода движения фигур", '"топологические свойства". К таковым целостным и однородным геометрическим системам относятся, например, евклидова и псевдоевклидова геометрии, эллиптическая геометрия Римана, гиперболическая геометрия Лобачевского — Больяи, в том числе изоморфная ей геометрия гиперболоида II. Понятие "вложимость" по отношению к (псевдо)евклидову надпространству для (псевдо)риманова метрического пространства в целом с неопре­делённой топологией не имеет какого-либо смысла. Это, в частности, сказывается также на неопределённости для него значения nmin. Но если ограничиться изучением только какой-либо топологически аффинно-эквивалентной области (псевдо)риманова m-пространства, то тогда значение nmin будет всецело определяться его локальными дифференциально-геометрическими свойствами.

Двухвалентный симметричный тензор содержит в себе макси­мально k = m∙(m + 1)/2 независимых друг от друга функциональных скалярных элементов gij. Поэтому рассматриваемая область риманова m-пространства всегда вложима в без изменения своей внутренней геометрии. Далее зададим аналитически внешним образом указанную область риманова m-пространства в где n ≥ m, в каком-либо декартовом базисечерез n×1 радиус-вектор и соответственно с m степенями свободы движений-трансляций. Пусть каждой степени свободы этого радиус-вектора отвечает гауссова криволинейная координатариманова m-пространства. Тогда имеется функциональ­ное отображение

В каждой точке указанной области риманова m-пространства существует непрерывно дифференцируемая в ней матрица Якоби Согласно Гауссу и Риману, внутренняя геометрия этой области определяется непрерывно функционально через внутреннюю гомо-мультипликацию — метрический тензор:

В свою очередь, для псевдориманова m-пространства в <Рn+q>, где n + q ≥ m, имеется псевдоаналогия:

Для полной функциональной независимости k элементов симметричного тензора необходимо, чтобы выполнялось

неравенство n≥k. При n<k риманово m-пространство частично уплощается, в том числе полностью при n = m в евклидово m-пространство. Наоборот, при n > k Theorema Egregium Гаусса всегда позволяет понизить порядок вложения ограниченной области риманова m-пространства, по крайней мере, до nmin = k, используя операцию изгибания. Например, регулярный фрагмент любой кривой, самой по себе (m = 1), изгибанием всегда можно трансформировать в отрезок евклидовой прямой (n = nmin = 1). Аналогично топологически аффинно-эквивалентную и регулярную область произвольной римановой поверхности (m = 2) изгибанием всегда можно вложить в без изменения её внутренней геометрии (k = nmin = 3). Это относится и к области поверхности Лобачевского - Больяи, но не к ней в целом, что было доказано впервые Гильбертом.

Метрический тензор инерции как функция точечного элемента m псевдориманова пространства имеет nmin = m = 4 степени свободы для скалярных элементов gij. В минимальном плоскам пространстве вложения <Р3+1> в гауссовых криволинейных координатах он задаёт искажённую псевдоевклидову геометрию Минковского. (Отметим, что в обычных — псевдодекартовых координатах здесь же он попросту постоянен.) С другой стороны, метрический тензор псевдориманова четырёхмерного пространства <R3+l> имеет nmin = k = 4∙5/2 =10 степеней свободы (> m = 4) для скалярных элементов gij. В гауссовых криволинейных координатах он задаёт псевдориманову геометрию, например в минимальном метрическом пространстве вложения <Р с+d>, где с + d = 10, с ≥ 3. В первом случае, для которого nmin = m = 4, тензор кривизны Римана-Кристоффеля обязательно нулевой. Во втором случае, для которого nmin = k = 10 > m, он никак не может быть нулевым из-за кривизны псевдориманова пространства, вложенного в <Рc+d>. Никаким выбором локального базиса нельзя изменить риманову кривизну и нельзя ненулевой тензор кривизны сделать нулевым и наоборот. Поэтому, если принимается как базовый принцип Маха, то принцип эквивалентности в общем случае не реализуется. (При свободном движении материальной точки в поле тяготения собственные векторные силы тяготения и инерции полностью компенсируют друг друга, согласно третьему закону механики Ньютона и закону о тождестве инерционной и тяготеющей масс. Но поле тяготения и "поле инерции" даже локально в общем случае не компенсируют друг друга.) Отметим здесь то обстоятельство, что так называемое эффективное псевдориманово пространство-время, используемое в РТГ для упрощённого координатного описания движе­ния материи в силу его аффинно-эквивалентной топологии имеет тот же минимальный порядок вложения nmin = 10.

* * *

Однако для простейших, неискривленных форм поля тяготения и при этом весьма умозрительных (откуда, видимо, возникла идея прин­ципа эквивалентности) нетрудно локально отождествить проявление активной гравитации (тяготения) и пассивной гравитации (инерции). Например, свободное прямолинейное физическое движение под действием стационарного однородного поля тяготения математически тождественно гиперболическому абсолютному движению в <Р3+1> под действием постоянной тангенциальной собственной силы (рис. 3А). Свободное круговое физическое движение под действием стационар­ного сферически симметричного поля тяготения математически тождественно псевдовинтовому абсолютному движению в <Р3+1> под действием постоянной нормальной собственной силы.

Проиллюстрируем сказанное на ранее рассмотренном примере замедления собственного времени равномерно ускоренного движения, отображённого на рис 3А (гл 5А). Применим дифференциальную форму гиперболического движения (92 А) как локально универсальную для любых ускоренных прямолинейных физических движений. С точки зрения относительно покоящегося инерциального наблюдателя N1 в согласно СТО, имеем:

(209А)

(См. также аналогичные более общие скалярные формулы (162А) и (171 А), в том числе для непрямолинейных ускоренных физических движений.) То же самое замедление собственного времени с точки зрения неинерциального наблюдателя Nm внутри космического корабля можно трактовать по Эйнштейну локально так, как будто бы наблюдатель находится в эквивалентном стационарном поле тяготения с напряжённостью

(210 А)