Дискретно-непрерывная математика (стр. 1 )

Парадигма развития науки

Методологическое обеспечение

А.Е. Кононюк

ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНАЯ МАТЕМАТИКА

Книга 5

Матрицы

Часть 3

Киев

Освіта України

2012

УДК 51 (075.8)

ББК В161.я7

К 213

Рецензенты: ин - д-р техн. наук, проф. (Национальный авиационный университет).

К65 Дискретно-непрерывная математика. Матрицы. К.5.Ч.3.

К.4:"Освіта України", 2012. - 520 с.

ISBN 978-966-7599-50-8

Многотомная работа содержит систематическое изложение математических дисциплин, исспользуемых при моделировании и исследованиях математических моделей систем.

В работе излагаются основы теории множеств, отношений, поверхностей, пространств, алгебраических систем, матриц, графов, математической логики, теории формальных грамматик и автоматов, теории алгоритмов, которые в совокупности образуют единную методолгически взамосвязанную математическую систему «Дискретно-непрерывная математика».

Для бакалавров, специалистов, магистров, аспирантов, докторантов и просто ученых и специалистов всех специальностей.

ББК В161.я7

ISBN 978-966-7599-50-8 ©А. Е. Кононюк, 2012

Оглавление

Модуль 11. Линейные операторы………………………………………4

Микромодуль 26. Линейные операторы в п-мерном векторном пространстве………………………………………………………………. 4

Микромодуль 27. Структура линейного оператора в n-мерном пространстве…………………………………. …………………………..32

Микромодуль 28. Линейные оператор в унитарном пространстве.. 69

Микромодуль 29. Сингулярные пучки матриц…………………….. 127

Микромодуль 30. Системные критерии и вырожденные задачи…..154

Модуль 12. Введение в теорию точных матриц…………………….195

Микромодуль 31. Коэффициенты характеристических

многочленов……………………………………………………………..205

Микромодуль 32. Собственные аффинные и ортогональные

проекторы………………………………………………………………..232

Микромодуль 33. Основные скалярные инварианты сингулярных матриц ………………………………………………………………… 243

Микромодуль 34. Два альтернативных варианта

комплексификации……………………………………………………. 251

Модуль 13. Фундаментальное содержание тензорной

тригонометрии…………………………………………………………..258

Микромодуль 35. Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия…………. ………………………………………………259

Микромодуль 36. Тензорная псевдоевклидова тригонометрия……298

Микромодуль 37. Тригонометрическая природа

коммутативности и антикоммутативности……………………………314

Микромодуль 38. Тригонометрические спектры и неравенства…..320

Микромодуль 39. Геометрические нормы матричных объектов…..330

Микромодуль 40. Варианты комплексификации тензорной тригонометрии…………………………………………………………..340

Микромодуль 41. Тригонометрия общих псевдоевклидовых пространств………………………………………………………………345

Микромодуль 42. Тригонометрия псевдоевклидова пространства Минковского…………………………………………………………….360

Приложение. Тригонометрические модели движений

в неевклидовых геометриях и в теории относительности …………..377

Литература…………………………………………………………….516

Модуль 11

Линейные операторы

Микромодуль 26

Линейные операторы в п-мерном векторном пространстве

Матрицы составляют основной аналитический аппарат для изучения линей­ных операций в п-мерном пространстве. В свою очередь изучение этих операций дает возможность разбить все матрицы на классы и выявить важные свойства, присущие всем матрицам одного и того же класса.

В настоящей микромодуле излагаются наиболее простые свойства линейных опе­раторов в п-мерном пространстве. Дальнейшее исследование линейных опера­торов в п-мерном пространстве будет продолжено в микромодулях 27 и 28.

11.1. Векторное пространство

1. Пусть дана некоторая совокупность R произвольных элементов х, у, z,..., в которой определены две операции: операция «сложения» и операция «умно­жения на число из поля К (эти операции будем отмечать обычными знаками «+» и «•», причем последний знак иногда не ставится, а только подразумевается).

Допустим, что эти операции всегда выполнимы и однозначны в R и для любых элементов х, у, z из R и чисел α, βиз К:

3° Существует такой элемент 0 в R, что произведение числа 0 на любой элемент х из R равно элементу 0:

Определение 1. Совокупность элементов R, в которой всегда вы­полнимы и однозначны две операции: «сложение» элементов и «умножение элемента из R на число из К», причем эти операторы удовлетворяют постула­там 1°—7°, мы будем называть векторным пространством (над полем К), а сами элементы — векторами (Нетрудно видеть, что из свойств 1°—7° следуют все обычные свойства операций сло­жения и умножения на число. Так, например, при любом х из

где —х = (—1) • х и т. п.)

Определение 2. Векторы х, у, ..., и из R называются линейно зави­симыми, если существуют такие числа из К, не равные одновременно нулю, что

(1)

В случае, если не существует подобной линейной зависимости, векторы х, у, ... ..., и называются линейно независимыми.

Если векторы х, у, ..., и линейно зависимы, то один из векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных с коэффициентами из поля К. Так, например, если в (1) α≠0, то

Определение 3. Пространство R называется конечномерным, а число п — числом измерений этого пространства, если в R существует п линейно не­зависимых векторов, в то время как любые п+1 векторов из R линейно за­висимы. Если же в пространстве можно найти линейно независимую систему из любого числа векторов, то пространство называется бесконечномерным.

В настоящей книге в основном изучаются конечномерные пространства.

Определение 4. Система из п линейно независимых заданных в опре­деленном порядке векторов в п-мерном пространстве называется базисом этого пространства.

2. Пример 1. Совокупность обычных векторов (направленных геометрических от­резков) является трехмерным векторным пространством. Часть этого пространства, состоя­щая из векторов, параллельных некоторой плоскости, является двумерным пространством, а все векторы, параллельные некоторой прямой, образуют одномерное векторное простран­ство.

Пример 2. Столбец из п чисел поля К: х = (х1, х2, …, хп) назовем вектором (п — фиксированное число). Основные операции определим как операции над столбцевыми мат­рицами:

Элементом н, ..., 0). Легко проверить, что все постулаты 1°—7° вы­полняются. Эти векторы образуют п-мерное пространство. В качестве базиса этого про­странства можно, например взять столбцы единичной матрицы п-го порядка:

Пространство, рассмотренное в этом примере, часто называют численным п-мерным про­странством.

Пример 3. Совокупность бесконечных последовательностей (х1, х2, …, хп,… ), в которой операции определены естественным образом, т. е.

представляет собой бесконечномерное пространство.

Пример 4. Совокупность многочленов степени < п с коэффициентами из К представляет собой п-мерное векторное пространство (в качестве основных операций берутся обычное сложение многочленов и умножение многочлена на число). Базисом такого пространства является, например, система степеней

Все же такие многочлены (без ограничения степени) образуют бесконечномерное про­странство.

Пример 5. Все функции, определенные в замкнутом интервале [а, b], образуют бес­конечномерное пространство.

3. Пусть векторы образуют базис п-мерного векторного пространства R, а х — произвольный вектор этого пространства. Тогда векторы линейно зависимы (ибо число их равно п+1):

где по крайней мере одно из чисел отлично от нуля. Однако в данном случае так как векторы не могут быть связаны линейной зависимостью. Поэтому