Дискретно-непрерывная математика (стр. 62 )

(190) (191) (192) (193) (194) (195) (196) (197)

Проективные тригонометрические формулы и тензорные углы наглядно иллюстрирует символический тензорный октаэдр, образуе­мый восемью характеристическими проекторами в 2-х валентном евклидовом пространстве (рис.1). Для нуль-нормальной матрицы этот октаэдр вырождается в символический тензорный прямоугольный треугольник.

Рис. 1. Символический тензорный октаэдр из характеристических проекторов, иллюстрирующий тензорные углы.

Тензорные рефлекторы осуществляют операцию линейного отраже­ния (рефлексии). При этом планар <im Bm> есть линейное зеркало, от которого происходит ортогональное отражение. Некоторые частные случаи:

Очевидны тождества: I∙I = I = I∙I, или

(180)

(181)

Отсюда следуют тригонометрические формулы:

(182)

(183), (184) (185)

Далее при выводе тригонометрических формул можно также использовать таблицу умножения разнородных характеристических проекторов:

Проективный характер определённых выше тригонометрических функций показывают формулы:

(186)

(187)

(188)

(189)

13.3. Проективные тензорные секанс, тангенс и аффинные рефлекторы

В свою очередь, тензорные функции секанса и тангенса от того же проективного угла определяются через аффинные или косогональные характеристические проекторы. Складывая (187) и (188), получаем

На основании этого соотношения матричная характеристика

(198)

определяется как проективный тензорный секанс угла между планарами <im В> и <im В'>. Согласно (172), тензорный косинус — не­сингулярная матрица тогда и только тогда, когда то есть когда В - нуль-простая матрица. Поэтому имеем:

(199) (200)

В последнем случае подразумевается, что исходная матрица может быть нуль-дефектной, а характеристические аффинные проекторы при этом же могут не существовать. Тогда на подпространстве косинус и квазисеканс - оба вместе нулевые. Зато для нуль-дефектной матрицы косинус угла между подпространства­ми всегда несингулярный. В свою очередь, синус несингулярный тогда и только тогда, когда

(201)

В случае задания тензорного проективного угла линеорами А1 и А2 это же соответствует объединению условий (159) и (160). Ввиду этого квазикосеканс в общем случае определяется через квазиобратную матрицу

(202) Вычитая (186) из (187), получаем

На основании этого соотношения матричная характеристика

(203)

определяется как проективный тензорный тангенс угла . Принима­емая форма проективного тангенса обусловлена тем, что это кососим-метричная матрица; её ненулевые собственные значения μj=±i∙tgφj Кроме того, тот же тангенс выражается тригонометрической формулой

(204)

В частности, для пары векторов и прямых с учётом (151), (152) имеем:

(205)

Квазикотангенс определяется для общего случая матрицей

(206) Очевидно тождество

(207)

Отсюда следуют тригонометрические формулы:

(208) (209)

(210)

Правило №1. Квадраты и любые чётные степени тензорных тригонометрических функций коммутативны между собой и с харак­теристическими проекторами, когда они относятся к одной и той лее паре линеоров или планаров.

Аналогично (176)—(179), но для нуль-простой матрицы, определя­ются аффинные рефлекторы:

(211) (212)

В случае пространства с евклидовой метрикой они суть сферически косогоналытые рефлекторы и вместе с тем — характеристические квадратные корни типа Если тензорный угол между <im B> и

<im В'> ненулевой, то корни (211), (212) обязательно несимметричны. В самом общем случае тензорные рефлекторы могут обозначаться как Ref {Вр}, где Вр - нуль-простая матрица. При этом планар <im Bp> есть линейное зеркало, от которого происходит отражение параллельно планару <ker Bp>.

13.4. Сопоставление двух способов задания тензорных углов - через прямоугольные и через квадратные сингулярные матрицы

Возникает вопрос, когда проективный тензорный угол и его тригонометрические функции, определяемые либо через А1 и А2, либо через В, тождественны? Пусть в соответствии с (151) и (152) имеем:

(213), (214)

(215), (216)

Прежде всего отметим, что матрицы А1 и А2 здесь необходимо имеют одинаковый размер. Из равенства тензорных углов следует равенство всех одноимённых ортопроекторов и обратно:

(Носправедливо по исходному определению А1А2' = В;

это дополнительное соотношение определяется только фактом существования косопроекторов.) В свою очередь, равенство ортопроекторов тождественно взаимосвязанным условиям:

Вначале рассмотрим условие (217), тождественное (220):

Отсюда следует, что выполнение (217) тождественно двум условиям:

(221)

Аналогичный подход применим к условию (219), тождественному (218):

(222)

То есть выполнение двух независимых условий (217) и (219) равно­сильно тому, что

(223)

где необходимо

Ответ на поставленный выше вопрос заключается в выполнении необходимого и достаточного условия (223). В частности, оно соблю­дается, когда r1 = r2 = r = m. Тогда

Этот упрощённый вариант, как правило, подразумевается при использовании внешних и внутренних произведений типа (213) - (216), то есть при условии: