Дискретно-непрерывная математика (стр. 15 )

(130)

Но ' есть минимальный многочлен всего пространства относительно А; значит, и в силу (130)

(131)

Таким образом, мы попутно получили теорему Гамильтона — Кэли.

11.15. Нормальная жорданова форма матрицы

Пусть все корни характеристического многочленаоператора А принадлежат полю К. Это, в частности, всегда будет иметь место, если К есть поле всех комплексных чисел.

В рассматриваемом случае разложение инвариантных многочленов на эле­ментарные делители в поле К будет выглядеть так:

(132)

Так как произведение всех инвариантных многочленов равно характеристи­ческому многочлену в (132) суть все различные между собой корни характеристического многочлена Возьмем какой-либо элементарный делитель

(133)

здесь λ0 — одно из чисела р — один из (отличных от нуля) показателей

Этому элементарному делителю в расщеплении (106) отвечает определенное циклическое подпространство І, порождающий вектор которого обозначим буквой е. Для этого вектора будет минимальным многочленом.

Рассмотрим векторы

(134)

Векторылинейно независимы, так как в противном случае существовал бы аннулирующий многочлен для вектора е степени < р, что невозможно. Теперь заметим, что

(135)

или

(136)

Имея равенства (136), нетрудно выписать матрицу, отвечающую оператору А в І при базисе (134), Эта матрица будет выглядеть так:

(137)

где Е(р) — единичная матрица порядка р, а Н(р) — матрица порядка р, у которой элементы первой «наддиагонали» равны единице, а все остальные элементы равны нулю.

Линейно независимые векторы для которых имеют место равенства (136), образуют так называемую жордонову цепочку векторов в І. Из жордановых цепочек, взятых в каждом из подпространств составляется жорданов базис в R. Если минимальные многочлены этих под­пространств, т. е. элементарные делители оператора А, обозначим теперь через

(138)

(среди чисел могут быть и равные), то матрица J, отвечающая оператору А в жордановом базисе, будет иметь следующий квазидиагональный вид:

(139)

Про матрицу J говорят, что она имеет нормальную жорданову форму или просто жорданову форму. Матрица J сразу выписывается, если известны эле­ментарные делители оператора А в поле К, содержащем все корни характеристи­ческого уравнения ∆ (λ) = 0.

Произвольная матрица А всегда подобна матрице J, имеющей нормальную жорданову форму, т. е. для произвольной матрицы А всегда существует такая неособенная матрицачто

(140)

Если все элементарные делители оператора А первой степени (и только в этом случае), жорданова форма является диагональной матрицей, и в этом слу­чае мы имеем:

(141)

Таким образом, линейный оператор А имеет простую структуру в том и только в том случае, когда все элементарные делители опера­тора А линейны.

Векторы определяемые равенствами (136), занумеруем в обратном порядке:

(142)

Тогда

(143)

откуда

(144)

Векторы (142) образуют базис в циклическом инвариантном подпространстве І, соответствующем в расщеплении (106) элементарному делителю В этом базисе, как легко видеть, оператору А будет отвечать матрица

(145)

Про векторы (142) говорят, что они образуют нижнюю жорданову цепочку векторов. Если мы в каждом из подпространств в расщеплении (106) возьмем нижнюю жорданову цепочку векторов, то из этих цепочек составится нижний жорданов базис, в котором оператору А отвечает квазидиагональная матрица

(146)

Про матрицу J1 говорят, что она имеет нижнюю жорданову форму. В отли­чие от матрицы (146) матрицу (139) мы иногда будем называть верхней жордановой матрицей.

Таким образом, произвольная матрица А всегда подобна как некоторой верхней, так и некоторой нижней жордановой матрице.

11.16. Н. Крылова преобразования векового уравнения

1. Если дана матрица.то ее характеристическое (вековое) уравнение записывается в виде

(147)

В левой части этого уравнения стоит характеристический многочлен п-й степени ∆(λ). Для непосредственного вычисления коэффициентов этого многочлена нужно раскрыть харак­теристический определитель а это связано при больших п с большим объемом вычислительной работы, поскольку λ входит в диагональные элементы определителя.

Напоминаем, что коэффициент при равен (с точностью до знака) сумме всех главных миноров порядка п — k матрицы А (k= 1,2, ..., n). Таким образом, уже при n = 6 для непосредственного определения коэффициента при λ в ∆(λ) нужно вычислить шесть определителей пятого порядка, а для коэффициента при λ2 нужно вычислить 15 определи­телей четвертого порядка и т. п.

в 1937 г. предложил преобразование характеристического определителя, в результате которого λ входит только в элементы одного столбца (или строки). Преобразование Крылова существенно упрощает вычисление коэффициентов характеристи­ческого уравнения.

В этом параграфе мы дадим алгебраический вывод преобразованного характеристи­ческого уравнения, несколько отличающийся от вывода самого Крылова. ( пришел к своему преобразованному уравнению, исходя из рассмотрения системы п линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами).

Введем в рассмотрение n-мерное векторное пространство R с базисом и линейный оператор A в R, определяемый данной матрицейпри этом базисе.

Выберем в R произвольный вектор х ≠ 0 и составим ряд векторов

(148)

Пусть первые р векторов этого ряда линейно независимы а (р + 1)-й вектор Арх есть линейная комбинация этих векторов:

(149)

или

где (150)

(151)